Линейная алгебра. Экономические приложения

Сентябрь 10, 2022

Главная
Экономика
Линейная алгебра. Экономические приложения

Содержание

2. Межотраслевой баланс Межотраслевой баланс (МОБ) — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны
3. Межотраслевой баланс
4. Столбцы отражают состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. Строки -
5. Применения МОБ Основные задачи применения МОБ: Определить объем валового продукта производственного сектора экономики по известному конечному
6. Пример составления модели Некоторый экономический регион производит n видов продуктов (только своими силами и только для
7. Введем обозначения для известных величин: yi - спрос населения на i-й продукт (i=1,...,n); aij - количество
8. Стоимостной баланс Для каждого i должно выполняться равенство величина выпуска i-го продукта, необходимая для всего выпуска
9. , или - классическая модель «затраты-выпуск». Модель Леонтьева Определим технологическую матрицу (матрицу прямых затрат) вектор спроса
10. Формулировки модели Леонтьева Эквивалентные формулировки уравнения межотраслевого баланса: - каноническая форма - приведенная форма Матрица (E
11. Задачи ЗАДАЧА 2. Дана матрица А прямых затрат и вектор X валового выпуска. Найти вектор конечного
12. Задачи ЗАДАЧА 3 (основная). Дана матрица А прямых затрат и вектор Y конечного продукта. Найти вектор
13. Продуктивность матрицы прямых затрат модели Леонтьева Определение. Матрица прямых затрат модели Леонтьева (все элементы неотрицательны) называется
14. Теорема (первый критерий продуктивности) Модель Леонтьева с неотрицательной матрицей А продуктивна тогда и только тогда, когда
15. Теорема (второй критерий продуктивности) Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее
16. Пример 1 В таблице приведены данные по балансу: Найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а
17. Пример 1 (продолжение)
18. Пример 1 (продолжение) Все элементы матрицы А положительны. Сумма элементов третьего и четвертого столбцов больше единицы.
19. Пример 2 Дан баланс трех отраслей промышленности за некоторый период времени: Построить матрицу полных затрат. Найти
20. Пример 2 (продолжение) Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый
21. Пример 2 (продолжение) Таким образом, для заданного увеличения компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые
22. Дано уравнение межотраслевого баланса для двух отраслей: Требуется определить, каким должен быть вектор валового выпуска, чтобы
23. Пример 3 (продолжение) Решение:
24. Пример 3 (продолжение) Даны матрица А прямых затрат и вектор конечного продукта Y : Найти вектор
25. Модель международной торговли Пусть x1, x2, … , xn – бюджеты торгующих стран, – структурная матрица
26. Какими должны быть соотношения между бюджетами торгующих между собой стран, чтобы торговля была взаимовыгодной? Модель международной
27. Замечание о модели международной торговли Модель международной торговли является частным случаем модели МОБ. Роль отраслей играют
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Межотраслевой баланс
Межотраслевой баланс (МОБ) — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные

взаимосвязи в экономике страны между выпуском продукции в одной отрасли и затратами продукции всех участвующих отраслей, необходимыми для обеспечения этого выпуска.

Слайд 3

Межотраслевой баланс

Слайд 4

Столбцы отражают состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления

и добавленной стоимости.
Строки - направления использования ресурсов каждой отрасли.

Слайд 5

Применения МОБ
Основные задачи применения МОБ:
Определить объем валового продукта производственного сектора

экономики по известному конечному спросу.
Распределить по отраслям производства промежуточный продукт каждой отрасли.

Слайд 6

Пример составления модели
Некоторый экономический регион производит n видов продуктов (только

своими силами и только для населения данного региона).
Технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен.

Предположения модели:

Требуется определить годовой объем выпуска продуктов для обеспечения конечного и производственного потребления.

Слайд 7

Введем обозначения
для известных величин: yi - спрос населения на i-й продукт

(i=1,...,n); aij - количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы j-го продукта по данной технологии ( i=1,...,n ; j=1,...,n);
для неизвестных величин: xi - объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n).

Слайд 8

Стоимостной баланс
Для каждого i должно выполняться равенство
величина выпуска i-го продукта,
необходимая

для всего выпуска

конечное
потребление

воспроизводство

Слайд 9

, или - классическая модель «затраты-выпуск».
Модель Леонтьева
Определим технологическую

матрицу
(матрицу прямых затрат)

вектор спроса и вектор выпуска .

Слайд 10

Формулировки модели Леонтьева
Эквивалентные формулировки уравнения
межотраслевого баланса:
- каноническая форма
- приведенная

форма

Матрица (E – A)-1 называется матрицей полных затрат.

Слайд 11

Задачи
ЗАДАЧА 2. Дана матрица А прямых затрат и вектор

X валового выпуска. Найти вектор конечного продукта Y.
Решение:
Y = (E-A)X

Типовые задачи, возникающие при изучении
межотраслевого баланса:
ЗАДАЧА 1. Найти матрицу А - прямых затрат.

Слайд 12

Задачи
ЗАДАЧА 3 (основная).
Дана матрица А прямых затрат и вектор Y
конечного

продукта. Найти вектор X валового выпуска.
Решение:
1-й способ - решение СЛУ (Е-А)X=Y
2-й способ - нахождение X=(Е-А)-1Y

Слайд 13

Продуктивность матрицы прямых затрат модели Леонтьева
Определение.
Матрица прямых затрат модели Леонтьева (все

элементы неотрицательны) называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора конечного выпуска Y найдётся неотрицательный вектор валового выпуска X с данной матрицей прямых затрат.
В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Слайд 14

Теорема (первый критерий продуктивности)
Модель Леонтьева с неотрицательной матрицей А
продуктивна тогда

и только тогда, когда существует неотрицательная матрица (Е–А)-1.

Слайд 15

Теорема (второй критерий продуктивности)
Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма

элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:
Причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Слайд 16

Пример 1
В таблице приведены данные по балансу:
Найти векторы конечного потребления и

валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить, является ли она продуктивной.

Слайд 17

Пример 1 (продолжение)

Слайд 18

Пример 1 (продолжение)
Все элементы матрицы А положительны. Сумма элементов третьего и четвертого столбцов

больше единицы.
Следовательно, условия второго критерия продуктивности не соблюдены, матрица А не является продуктивной.
Экономическая причина: внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слишком велико в соотношении с их валовыми выпусками.

Слайд 19

Пример 2
Дан баланс трех отраслей промышленности за некоторый период времени:
Построить

матрицу полных затрат.
Найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно на 60, 70, 30 усл.ед.

Слайд 20

Пример 2 (продолжение)
Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного

потребления новый вектор конечного продукта Y* будет иметь вид

Новый вектор валового выпуска X* найдем из
, или

Слайд 21

Пример 2 (продолжение)
Таким образом, для заданного увеличения компонент вектора конечного продукта,

необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: тяжелой промышленности на 52,2%, легкой промышленности — на 35,8% и сельского хозяйства — на 85%.

Решаем систему , получаем

Слайд 22

Дано уравнение межотраслевого баланса для двух отраслей:
Требуется определить, каким должен быть

вектор валового выпуска, чтобы конечный продукт 1-й отрасли увеличился вдвое, а 2-й – на 20%.

Пример 3

Слайд 23

Пример 3 (продолжение)
Решение:

Слайд 24

Пример 3 (продолжение)
Даны матрица А прямых затрат и вектор

конечного
продукта Y :
Найти вектор валового выпуска X.
Решение:

Слайд 25

Модель международной торговли
Пусть x1, x2, … , xn – бюджеты торгующих

стран,

– структурная матрица торговли,

xij - часть бюджета i-й страны, которую она тратит на торговлю с j-й страной. Тогда выручка i-й страны составит

Слайд 26

Какими должны быть соотношения между бюджетами торгующих между собой стран, чтобы

торговля была взаимовыгодной?

Модель международной торговли

Слайд 27

Замечание о модели международной торговли
Модель международной торговли является частным случаем

модели МОБ.
Роль отраслей играют государства.
Все товары, которые государство производит идут в потребление либо в своей стране, либо в странах-партнерах (все товары рассматриваются как конечные).

Линейная алгебра. Экономические приложения

Содержание

Межотраслевой баланс Межотраслевой баланс (МОБ) — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные

Межотраслевой баланс

Столбцы отражают состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления

Применения МОБОсновные задачи применения МОБ:Определить объем валового продукта производственного сектора

Пример составления моделиНекоторый экономический регион производит n видов продуктов (только

Введем обозначения для известных величин: yi - спрос населения на i-й продукт

Стоимостной балансДля каждого i должно выполняться равенствовеличина выпуска i-го продукта, необходимая

, или - классическая модель «затраты-выпуск». Модель Леонтьева Определим технологическую

Формулировки модели ЛеонтьеваЭквивалентные формулировки уравнения межотраслевого баланса:- каноническая форма- приведенная

Задачи ЗАДАЧА 2. Дана матрица А прямых затрат и вектор

ЗадачиЗАДАЧА 3 (основная).Дана матрица А прямых затрат и вектор Y конечного

Продуктивность матрицы прямых затрат модели ЛеонтьеваОпределение.Матрица прямых затрат модели Леонтьева (все

Теорема (первый критерий продуктивности)Модель Леонтьева с неотрицательной матрицей А продуктивна тогда

Теорема (второй критерий продуктивности)Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма

Пример 1В таблице приведены данные по балансу:Найти векторы конечного потребления и