Чем занимается Физика?

Physics

Scale in meters / Шкала в метрах

и логики
ВАЖНО! Физика начинается там, где появляется возможность использовать математику с предсказательной силой!
Простейший случай, где это удается – описание движения простых тел (МЕХАНИКА).

Что такое Физика? / What is Physics?

и логики
ВАЖНО! Физика начинается там, где появляется возможность использовать математику с предсказательной силой!
Простейший случай, где это удается – описание движения простых тел (МЕХАНИКА).
Движение – изменение положения тела в пространстве
Простейший случай: материальная точка => тело, размерами и ориентацией в пространстве которого в данной задаче можно пренебречь.
Положение материальной точки в пространстве определяется всего тремя числами – координатами.
Чтобы начать заниматься физикой – надо знать, что такое система координат и как ей пользоваться. Но не только это…

Что такое Физика? / What is Physics?

Mathematical Tools, necessary to begin learning Physics
Умение считать (арифметика)
Элементарные функции / Elementary functions
Простые уравнения / Equations
Производные и первообразные / Derivatives and Anti-derivatives (Integrals)
Скалярные и векторные величины/ Scalars and Vectors
Координаты (x, y, z) / Coordinates
Перемещение, скорость, ускорение / translational motion, velocity, acceleration
Графики / Charts

Что надо знать, начиная изучать Физику? / What shall one know begining learning Physics?

изобрели в Индии, в VII веке н.э. (Ариабхата, Брахмагупта)
В IX веке Мохаммед бен Муса Ал-Хорезми (~ 780 – ~850), описал ее в “Аль Китаб ал-Джебр - ва- ль -Иуккабаля" (алгоритм решения уравнений и счет «в столбик»
В XII веке книгу перевели на латинский язык под названием «Algoritmi de numero Indorum» (Книга об индийском счёте) «Книга об алгебре и мукабале»)
В XVI с изобретением книгопечатания широко распространилась в Европе

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Умение считать

5189
+ 106
5295

5189
х 106
31134
5189__
550034

5 1 8 9
-4 3 0 6
1(-2) 8 3 =
= 8 8 3

√2,00_00_00-… = 1,4142…
1
1,00
,96 = 24х4
4 00
2 81 = 281х1
1 19 00
1 12 96 = 2824х4
6 04 00
5 65 64 = 28282х2
……..

9251 | 4____
8_ 2312,75
12
12_
05
4_
11
8_
30
28_
20
20
0

и физику!
Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет. В народной школе С.А. Рачинского», Картина написана в 1895 году.
Пример записан на доске мелом:
(102 + 112 + 122 + 132 + 142) / 365 = ?

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Умение считать

= ax2 + bx + c – квадратичная функция
….
f(x) = kxa – степенная функция.
а - показатель степени (любое число - целое или дробное, положительное или отрицательное, действительное или мнимое)

Элементарные функции / Elementary functions

– линейная функция
f(x) = ax2 + bx + c – квадратичная функция
….
f(x) = kxa – степенная функция.
а - показатель степени (любое число - целое или дробное, положительное или отрицательное, действительное или мнимое)

= ex - экспонента. Стандартная показательная функция
е = 2,718281828… аx = (elna)x

Элементарные функции / Elementary functions

- а (>0) – основание логарифма, x (> 0)
f(x) = log2x - двоичный логарифм
f(x) = log10x - десятичный логарифм
f(x) = logеx = ln x – натуральный логарифм,
е = 2,718….
logаx = ln x / ln a

Элементарные функции / Elementary functions

sin x = cos (x - π/2),
π = 3,1415…….
f(x) = cos (x + φ),
φ – начальная фаза (любое число)
x = A cos α
y = A sin α

Элементарные функции / Elementary functions

.
sin x cos x
.

Y

X

0

A

α

ctg x = cos x / sin x
1/cos x 1 / sin x

Элементарные функции / Elementary functions

= cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) => cos(2a) = cos2(a)–sin2(a)
=> 1 = cos2a + sin2a
cos(a)cos(b) = ½(cos(a+b) - cos(a-b)) , etc…
ГЛАВНАЯ ФОРМУЛА (ф-ла Эйлера):
exp(ix) = cos x + i sin x; exp(-ix) = cos x - i sin x
cos x = [exp(ix) + exp(-ix)]/2
sin x = [exp(ix) - exp(-ix)]/2i

Элементарные функции / Elementary functions

её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Производные / Derrivatives

.
f´(x) = (f(x+Δx)– f(x))/Δx = df/dx
при Δx -> 0

(‘) от функции F(x)
F(x) = ∫dxf(x)
Функция F(x) есть (=) первообразная (∫dx) от функции f(x)
.. но(!) есть небольшая разница, незаметная в русском языке..
Любая функция F(x) + C (где С – любая постоянная)
тоже будет первообразной от функции f(x)
ПРИМЕР: Станислав отец (единственный) Андрея, но…
Андрей сын (один из) Станислава

(∫dx) от функции f(x)
Зачем нужно это dx?
Если f = f (x, y, z, ..) – нужно указать, по отношению к какой переменной (x, y, z, ..) производная или первообразная вычисляется.
f1(x,y,z,..) = F'x(x,y,z..) = dF(x,y,z,..)/dx
f2(x,y,z,..) = F‘y(x,y,z..) = dF(x,y,z,..)/dy , etc…
F1(x,y,z) = ∫ f(x,y,z,..)dx
F2(x,y,z) = ∫ f(x,y,z,..)dy , etc…

первообразная от f(x)
F(x2) - F(x1) = ∫ f(x)dx
Определенный интеграл от f(x) на участке от x1 до x2

x2
x1

Геометрический смысл определенного интеграла: он численно равен площади под графиком функции f(x) между точками x1 и x2 .
Площади под осью абсцисс учитывается с отрицательным знаком

уравнение
ax2 + bx + c = 0 => квадратное уравнение;
x1,2 = (- b + (b2 – 4ac)1/2)/2a

Уравнения / Equations

f(x) = С => алгебраическое уравнение.
Решения – числа
x1, x2, x3, …

x

(x)+ bf´(x) + cf´´(x) + ..
дифференциальное уравнение. Решения – функции!

Уравнения / Equations

Примеры: f´(x) + af (x) = 0 => f (x) = Aexp(-ax)
f´ (x) + af (x) = 0 => f (x) = Aexp(ia½x) + B exp(-ia½x) =
= Acos(a½x) + B sin(a½x)
A, B – любые числа (константы), нужной размерности. Их можно (нужно) найти из дополнительных (начальных) условий задачи (если f (x=0)=1, то А = 1), а чтобы найти В нужно знать еще одно условие (например, если f´ (x=0)=0, то В =0)

Идея: если движение точки описывают функции x(t); y(t); z(t), то зная начальные значения и зная дифференциальные уравнения, которым подчиняются эти функции, можно рассчитать их значения в любой момент времени!

- «Натуральная Философия и Принципы Математики», London, 1687.

для объяснения никакой специальной причины) и вынужденные. Естественно:
Тяжелым телам естественно падать вниз
Легким (дым от костра) естественно устремляться вверх
Небесным телам естественно двигаться по окружностям (Луна, Солнце, звезды) или по орбитам = наложениям нескольких круговых движений (планеты).
Все остальные виды движений требуют или постоянного приложения некой вынуждающей силы (ноги движут человека, лошадь тянет телегу, гребцы веслами толкают лодку и т.п.) или – в терминологии ‘физики v.0’ – надо придать телу однократно некоторый «импетус» (например, бросил камень – он летит)

или постоянного приложения некой вынуждающей силы (ноги движут человека, лошадь тянет телегу, гребцы веслами толкают лодку и т.п.) или – в терминологии ‘физики v.0’ – надо придать телу однократно некоторый «импетус» (например, бросил камень – он летит)

Величина придаваемого телу импетуса пропорциональна «величине двигателя» и времени его действия, а расходуется импетус на совершение телом некоторого перемещения. также пропорционального величине импетуса, и обратно пропорционального «величине движимого».
В современных обозначениях:
impetus = FΔt = mΔS, или
F = mΔS/Δt = mv

– функции!

Уравнения / Equations

В декартовой системе отсчета:
координаты – проекции положения точки на координатные оси. Таких осей три.
Основная задача механики –
найти траекторию движения –
то есть найти три функции
x(t); y(t); z(t)

Способ решения: найти дифференциальные уравнения, которым подчиняются функции x(t); y(t); z(t)

проекции положения
точки на координатные оси.
Таких осей может быть три.
r(t) – радиус-вектор точки
r(t) = (x(t); y(t); z(t))

r(t)

трех ее координат (тройка чисел)
направленный отрезок, проведенный из начала координат в точку с данными координатами.

r (t)= {x(t), y(t), z(t)}.

и направление.

Важно: параллельные вектора одинаковой величины считаются равными

Модуль вектора - неотрицательное число с размерностью соответствующей физической величины

ВАЖНО: очень многие величины в физике (в частности - в механике)
являются векторными: радиус вектор материальной точки, скорость,
ускорение, а также импульс, момент импульса, сила и др.

Немного математики!
Элементарные сведения о векторах (1)

через его проекции на координатные оси:
проекция - расстояние между точками пересечения с осью перпендикуляров, опущенных на эту ось из начальной и конечной точек вектора, взятое с соответсвующим знаком.
a = (ax , ay , az )

Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между ним и положительным направлением этой оси:
ax = |a|cos(αx) >0 ; ay = |a|cos(αy) < 0;

Немного математики!
Элементарные сведения о векторах (2)

= ka => k = |b| / |a|
ka = (kax , kay , kaz )

Умножение на отрицательное число: меняет направление вектора на противоположное
b = ka => k = - |b| / |a|

Немного математики!
Элементарные операции над векторами (1)

концу первого
c = (cx , cy , cz) = (ax + bx, ay + by , az + bz)

Вычитание векторов:
b = c - a = c + (- a)
- сводится к их сложению.

Важно: параллельные вектора одинаковой длины считаются равными

Немного математики!
Элементарные операции над векторами (2)

{bx, by, bz};

Скалярное произведение векторов :
(a, b) = ax bx + ay by + az bz = |a||b|cos(α)

Модуль вектора: корень квадратный из его скалярного произведения самого на себя:
|a|2 = (a, а) = ax 2 + ay 2 + az 2 =>

Немного математики!
Элементарные операции над векторами (3)

размерность, и соответствующую единицу измерения.
Единицы измерения могут быть разными. Например:
длину можно измерять в метрах, или в футах, или в милях. …
время - в секундах, или в часах, или в годах…
массу – в граммах, в килограммах, в фунтах …
Разные единицы удобны для измерений в разных масштабах (или традиционно применяются в разных странах и в разных областях деятельности).
Сравнивать разноразмерные величины – бессмысленно.
Что больше: 6 секунд или 3 метра - вопрос бессмысленный.
Но одноразмерные всегда можно сравнивать:
Пример: 250 метров/сек (скорость) = 900 км/час
Или: 1 баррель нефти (объем) = 158,9 литров = 0,1589 м3

и/или традиционно применяются в разных странах и в разных областях деятельности.
В большинстве стран в технике и в инженерной деятельности принята т.н. Международная система единиц измерения SI.
В механике мы тоже будем использовать систему SI, хотя в других разделах физики часто применяются и другие, более удобные для них системы единиц, о которых поговорим позже.
В основе системы SI - три базовые единицы измерения
длины [l] – метр
времени [t] - секунда
массы [m] - килограмм
Прочие физические величины имеют сложные (комбинированные) размерности, задаваемые их физическими определениями..

измерения
длины [l] – метр
времени [t] - секунда
массы [m] - килограмм
Прочие физические величины имеют сложные (комбинированными) размерности, задаваемые их физическими определениями.
ПРИМЕР: скорость v = ds/dt -> м/с
сила F = ma -> кг*м/с2 = Ньютон (Н)
и т.д.

используются десятичные кратные приставки:

используются десятичные дольные приставки:

или 3 метра - вопрос бессмысленный.
Складывать, вычитать, сравнивать и приравнивать можно только одноразмерные величины.
Благодаря этому, уже один анализ размерностей способен дать важную физическую информацию.

не применяя законов Ньютона

Параметры: L [м], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (L/g)1/2

Параметры: k [кг/с2], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (m/k)1/2

Пример анализа размерности

Качественный анализ:
Параметры задачи
Размерность
Качественные оценки

не применяя законов Ньютона

Параметры: L [м], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (L/g)1/2

Параметры: k [кг/с2], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (m/k)1/2

Пример анализа размерности

Качественный анализ:
Параметры задачи
Размерность
Качественные оценки

не применяя законов Ньютона

Параметры: L [м], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (L/g)1/2

Параметры: k [кг/с2], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (m/k)1/2

Пример анализа размерности

Качественный анализ:
Параметры задачи
Размерность
Качественные оценки

физик, до того, как начать решать уравнения, должен уметь угадать результат с точностью до численного коэффициента порядка единицы» А.Б.Мигдал

Качественный анализ:
Параметры задачи
Размерность
Качественные оценки

Пример анализа размерности