Электомагнитные колебания и волны. Лекция 8

4 Затухающие электрические колебания

5 Вынужденные электрические колебания. Резонанс

7 Сложение электрических колебаний ( фигуры Лиссажу,)

6 Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Тема занятий

В зависимости от природы различают:

Механические колебания

Электрические колебания

Общие сведения о колебаниях

Электрические колебания
– это колебания электрических и магнитных полей которые сопровождаются периодическим изменением заряда тока и напряжения

Колебательный контур

Колебательный контур – цепь состоящая из последовательно включенных катушки индуктивности L и конденсатора C (идеальный контур).

Реальный колебательный контур кроме катушки индуктивности и конденсатора содержит активное сопротивление R а также сопротивление проводов катушки и соединительных проводов.

Если зарядить конденсатор и замкнуть на катушку, то по катушке потечет ток.

Когда конденсатор разрядится ток в цепи не прекратится из – за самоиндукции в катушке. Индукционный ток, в соответствии с правилом Ленца, будет течь в ту же сторону и перезарядит конденсатор.

Возбуждение электрических колебаний

Работа колебательного контура

C

L

+q

-q

C

L

C

L

C

L

C

L

q=0

+q

-q

q=0

+q

-q

WE=q2/2C

WH=0

WE=0

WH=LI2/2

WH=0

WE=0

WE=q2/2C

WH=LI2/2

WE=q2/2C

WH=0

или

где qm - амплитуда колебаний, максимальное значение заряда;

- круговая или циклическая частота колебаний; (рад/с)

- частота колебаний (число колебаний в ед. времени)

- период колебаний

Формула Томсона

Характеристики колебательного контура

- фаза колебаний (состояние колеблющейся величины в данный момент времени)

0

t

W/2

Квазистационарный ток

Для получения дифференциального уравнения электромагнитных колебаний в контуре необходимо применить законы электродинамики.

При выводе дифференциального уравнения механических колебаний применяются законы механики.

При определенных условиях мгновенные значения изменяющегося тока можно считать постоянными.

Условие квазистационарности

Пример:

Время прохождения сигналом цепи

Длина цепи l = 3

Скорость распространения сигнала с= 3·108 м/с

для

Условие (1) выполняется для частот

(1)

В соответствии со вторым правилом Кирхгофа (и законом сохранения энергии)

Дифференциальное уравнение свободных колебаний контура

В колебательном контуре без активного сопротивления происходят незатухающие гармонические колебания с собственной частотой w0

Решение уравнения

Время релаксации

- время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е-раз

Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшилась в е раз. Тогда = NT

Логарифмический декремент затухания – есть величина, обратная числу полных колебаний по истечению которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз

В случае слабого затухания

Добротность колебательной системы с точностью до множителя 2π равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний

При увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при ω0 = β обращается в бесконечность, т.е. процесс перестает быть периодическим.

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением.

Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний

Установление колебаний

Установившиеся колебания

Вынужденные колебания совершаются с частотой вынуждающей ЭДС

Чтобы уравнение выполнялось, сумма трех этих векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию

Чтобы найти резонансную частоту ωрез - частоту, при которой амплитуда заряда достигает максимума – нужно найти максимум этой функции

Резонансная частота при R = 0 равна собственной частоте контура

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости

Полное сопротивление контура

При реактивные сопротивления равны

Векторная диаграмма резонанса напряжений

Резонансная частота

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений выражается в том, что полное сопротивление контура становится наименьшим и равным активному сопротивлению, а ток становится максимальным.

Условия получения резонанса токов такие же, как и для резонанса напряжений и XL = XC. Однако в этом случае на катушке и на конденсаторе напряжение такое же, как у генератора.

Z

I

I = Ia

Резонанс тока проявляется в уменьшении амплитуды тока во внешней цепи и при этом резкого увеличения тока в катушке индуктивности, при приближении частоты приложенного напряжения ω к ωр,

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания

Учитывая, что

а также

UL

U

Um

RIm

UR

Из диаграммы

- Коэффициент мощности

,

Действующие (эффективные) значения тока и напряжения

Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Основной способ – включение параллельно приемнику электрической энергии специальных устройств, называемых компенсаторами (батарея конденсаторов).

При включении компенсатора по нему проходит ток, опережающий напряжение на 900. Угол сдвига фаз уменьшается.

Допустимое значение для промышленных установок примерно 0,85. Для првышения коэффициента мощности существуют разные способы.

2) Близкие частоты

Возникают биения

3) Взаимно перпендикулярные одинаковой частоты

Эллипс, окружность, прямые (зависит от соотношения амплитуд и фаз)

4) Взаимно перпендикулярные с кратными частотами

Фигуры Лиссажу

t·10-2 ctt

1) от 0 до a; от b до c.

2) от a до b; от c до d.

3) от 0 до a; от c до d.

4) от a до b; от b до c.

5) от 0 до a; от a до b.

6) от b до b; cот b до d.

0

0,2

0,4

qm=6 mКл

0,6

Ответ:

Дано: q = 0,2cos(4πt+π/3), мКл.
Найти: qm; ω0; T; φ; Im.

Решение

амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора qm=0,2мКл
циклическая частота ω0 = 4π с-1;начальная фаза колебаний заряда φ0 = π/3 рад.

Из заданного закона изменения электрического заряда на обкладках конденсатора q = qm cos(4πt+π/3), следует:

Искомые частота и период колебаний соответственно равны:

Откуда искомая амплитуда силы тока в контуре

Ответ: qm= 0,2 мКл; ω0 = 4π с-1; φ0= π/3 рад; = 2 Гц; Т = 0,5 с; Im = 0,8π мА.

Затухающие колебания

Дано: L = 2·10-2 Гн; R = 8 Ом; С = 6,6·10-9 Ф.

Найти:

Решение

Логарифмический декремент затухания

Коэффициент затухания

Период затухающих колебаний

Подставляем числовые данные

Ответ:

Задача 4

2,7

1,0

t, mc

10

1) Время релаксации (время, за которое амплитуда уменьшится в е раз (е = 2,72). находим по графику = 6 mс.

2) Коэффициент затухания

3) Логарифмический декремент затухания равен обратному числу полных колебаний за время релаксации. По графику число колебаний N = 3, следовательно, θ = 0.51

Ответ:

= 6 mс;

;

Дано: Q = 0.7.
Найти:

Решение

1) Добротность колебательного контура

2) Логарифмический декремент затухания

3)

Разделим обе части на

или

или

4) Окончательно

Частота затухающих колебаний

, что составляет 18% от

Дано: С = 450мкФ; L = 0,66 Гн ; R =100 Ом

Найти:

Решение

Рассчитаем величину критического сопротивления

Критическое сопротивление равно 76 Ом, а в контуре активное сопротивление 100 Ом, т.е. больше критического. Следовательно, в контуре, содержащем указанные значения R, L и C, колебания не возникнут.
Ответ: Колебания не возникнут.