Электрические однофазные цепи синусоидального тока

периодические ЭДС, напряжения и токи. Периодические величины изменяются во
времени по значению и направлению. Эти изменения повторяются через равные
промежутки времени Т, называемые периодом.

е

t

T

е

t

T

е

ωt

T

ωt

е

В линейных электрических цепях синусоидального тока
ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени
по синусоидальному закону , например,
e = Emах sin(ωt ± Ψe),
u = Umах sin(ωt ± Ψu),
i = Imах sin(ωt ± Ψi),

Основные понятия и определения

T

i – мгновенные значения ЭДС, напряжения, тока
Eмах, Uмах, Iмах - амплитудные значения ЭДС, напряжения, тока

ωt +Ψe – фаза
Ψe – начальная фаза

Положительная начальная фаза откладывается влево от начала координат, а
отрицательная − вправо.
Знак начальной фазы определяется знаком мгновенного значения e, u. i при t = 0.

Ψu - Ψi

Совокупность векторов E, U, I, относящихся
к одной электрической цепи называют векторной диаграммой.

Знак угла − сдвига фаз между векторами
U и I, определяется направлением от
вектора тока к вектору напряжения.

φ

Графическое изображение синусоидального тока

которого по одному и тому же
сопротивлению R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты,
сколько при прохождении синусоидального тока.
Количество теплоты Q, выделяемое в резисторе R за время Т при синусоидальном токе:

, а при постоянном токе:

;

;

Так как Qsin = Qпост, то

Действующие и средние значения синусоидальных ЭДС, напряжений

и токов

;

котором за половину периода переносится такой же электрический заряд, что и при
синусоидальном токе.

Iср = 0,637Imax
Uср = 0,637Umax
Eср = 0,637Emax

и ±j, где

− мнимая единица, символ.

Комплексные значения синусоидальных величин обозначают

несинусоидальных − z, S.

Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия
(при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму,
а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).
Алгебраическая форма записи:

.

Тригонометрическая форма записи:
İ = Icosψi + jIsinψi .

Показательная форма записи:

I − модуль действующего значения тока, равный длине вектора;

где

− действительная составляющая тока;

) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е.угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0.

- мнимая составляющая тока

ψi = arctg (

)

При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все законы и методы расчета
цепей постоянного тока действительны при условии, что все величины сопротивлений,
напряжений и токов выражены в комплексных числах.

Комплексный метод расчета

через тригонометрическую форму записи
Например:
i = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 ·0,8 + j10 0,6 = 8 +j6 =
Умножение комплексного числа на + j приводит к увеличению его аргумента на 90º
и повороту вектора на 90º против часовой стрелки (в положительном направлении);
умножение на −j – к уменьшению аргумента на 90º и повороту вектора на 90º
в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные
величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные
по знаку аргументы:

еjarctg6/8 = 10ej37°

Zk и İk − сопротивления и токи отдельных приемников энергии, расположенных в этом контуре.

Y = 1/Z =

где Y – комплексная полная проводимость,

Первый закон Кирхгофа:

İk = 0,
где İk − токи, сходящиеся в одном узле.

Второй закон Кирхгофа:

Zkİk,

=

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

схемой замещения, составленной из так называемых
«идеальных» элементов:
резистивный элемент с активным сопротивлением R(Ом),или активной проводимостью G = 1/R(Cм);
индуктивный элемент с индуктивностью L (Гн) и реактивным индуктивным сопротивлением XL = 2πƒL(Ом ) или реактивной индуктивной проводимостью BL = 1/XL (См);
емкостный элемент с емкостью С, и реактивным емкостным сопротивлением XC = 1/2πƒC (Ом) или реактивной емкостной проводимостью BC = 1/XC,( (См).
При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все
законы и методы расчета цепей постоянного тока действительны при
условии, что все величины сопротивлений, напряжений и токов
выражены в комплексных числах.

Пассивные элементы в цепи синусоидального тока

Iмахsinωt, ψi = 0°
Imах = Umах/R или I = U/R.

Напряжение u и ток i в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе.
Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:
φ = ψu − ψi = 0° − 0° = 0°

Комплексные напряжение и ток цепи с резистивным элементом:

Ù = Uej0; ψu = 0°;
İ = Iej0; ψi = 0° .
Комплексное сопротивление цепи:

Z = Ù /İ = Uej0/Ie j0= R

+1

+J

0

İR

UR

iR

uR

uR,

iR

0

ωt

Цепь с резистивным элементом

Временная диаграмма

Векторная диаграмма

* I (1 – cos2ωt ),

В цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее значение мощности за период равно активной мощности, так как cosφ = 1.

Комплексная мощность:

= Se j φ = UIcos0º + jUIsin0º =UI, ВА
Р = UI = RI2, Вт[кВт, мВт]

S

= 0, u = − еL,

Umах sinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = Umахsinωt/L.

i = − Umахcosωt/ωL = Umахsin(ωt − π/2)/ωL = Imахsin(ωt − π/2).
Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = Ом.
Это индуктивное сопротивление:XL = ωL = 2πfL.

Ù = Ue j0, ψu = 0o; İ = Ie −j90, ψi = −90°

φ = 0° – (−90° ) = +90o

Ù /İ = Ue j0/Ie −j90 = XLej90 = jXL;

=

Цепь с индуктивным элементом

Таким образом, синусоида тока в цепи с идеальной индуктивной катушкой
отстает от синусоиды напряжения на угол 90º.

Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:

−UIsin2ωt.

Энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в
другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией
характеризуется реактивной мощностью QL = UI,вар [квар, мвар]

= Sejφ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI
QL = UI = XLI2, вар[квар,мвар]

S =

Мощность в цепи с идеальной индуктивной катушкой

ХL = 6 Ом равно:

Реальная индуктивная катушка в цепи переменного тока

Напряжение сети u = 14,1 sin ωt, R = 10 Ом, L = 0,03 Гн. Определите комплексные сопротивление и ток цепи в алгебраической и показательной формах эаписи.

Задача

8 +j6 =

еjarctg6/8 = 10ej37°

Z =

= Cuc, где uс − падение напряжения на конденсаторе

i = dQ/dt = ωCUmахcosωt = ωCUmахsin(ωt + π/2) = Imахsin(ωt + π/2),
Imах = ωCUmах = Umах/(1/ωC).

Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления,
[с/Ф = сВ/Кл = = сВ/сА = Ом]. Это емкостное сопротивление
Xс = 1/ωC = 1/2πfC.

= Uej0; ψu = 0º;
İ = Ie j90;; ψi = + 90º;

= Ù /İ

Цепь с конденсатором

Таким образом, синусоида тока в цепи с конденсатором опережает синусоиду напряжения на угол 90º.

φ = ψu − ψi = 0º − 90º = − 90º.

Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:

UIsin2ωt,

Энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в
другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией
характеризуется реактивной мощностью Qс = – UI,вар [квар, мвар]

= =Se−jϕ = UIcos90° – jUIsin90°= – jUI
Qc = –UI= –ХсI2, вар

S =

Мощность цепи с конденсатором

π/2) = Umaxsin(ωt + φ).

i = Iмахsinωt

u = uR + uL + uC

Полное напряжение цепи состоит из двух синусоидальных слагаемых одинаковой
частоты, а, следовательно, являются так же синусоидальными с некоторой
амплитудой Umах и фазовым углом φ (при условии, что начальная фаза тока равна 0).
u = Umахsin(ωt+φ).

XL>XC и

I

+1

+j

U L

UR

U

UP = UL - UC

UC

φ

Ψi= 0

UC

UR

Последовательное соединение R, L, C

Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением R, L, C при

+ j(XL − XC)] = Ue

Z =

сопротивление цепи

φ = arctg(XL – XC) / R

XL − XC – реактивное сопротивление цепи

I = U/z – ток цепи

Модуль комплексного
сопротивления - полное

Аргумент комплексного сопротивления цепи – сдвиг по фазе синусоид напряжения и тока

Комплексное напряжение цепи

j

φ

X = Zsinφ;

P = Scosφ; Q = Ssinφ;
cosφ = UR/U = R/Z = P/S; cosφ – коэффициент мощности – важный показатель
электрооборудования. Определяет, какую часть от полной мощности составляет
активная мощность, мощность, расходуемая на совершение полезной работы.

φ

U

UR

UP = UL - UC

UR = Ucosφ;Up = Usinφ;

S

P

Qр = QL - QC

Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей

S =

напряжение цепи совпадают
по фазе. Резонанс напряжений возникает в цепи при последовательном соединении элементов,
при XL = XC. Так как при этом Z = R, т. е. полное сопротивление имеет минимальное значение,
следовательно, ток цепи будет максимальным. В этом режиме резко возрастают напряжения
на реактивных элементах XL и XC. Происходит непрерывный обмен энергии между магнитным
полем катушки и электрическим полем конденсатора.
Равенства ХL и XC можно добиться изменением L, C, f.

f

Резонанс напряжений

ImахRsinωt;
i L = ImахLsin(ωt − π/2);
i C = ImахCsinωt(ωt + π/2).

IR =U/R=GU; IL=U/XL = BLU; IC = U/XC = BCU.
где G = 1/R; BL = 1/XL; BC = 1/XC, Y = 1/Z
– активная, индуктивная, емкостная и
полная проводимости цепи.

I = U/Z =YU, А

+ İL + İС ;
В комплексной форме записи: напряжение источника питания

+j

+1

İR

İL

İc

İ

φ

Треугольник токов

Треугольник проводимостей

G = Ycosφ;
B = Ysinφ;
φ = arctg(B/G) = arctg((BL – BC)/G).

I =

_

+1

+j

İR

İL

İc

Векторные диаграммы

Полная проводимость цепи в комплексной форме

ВL> ВC

ВL< ВC

İ

φ

совпадает по фазе с
напряжением, реактивная мощность равно нулю, а цепь
потребляет только активную мощность, называют
резонансом токов.
В режиме резонанса токов ток IL равен току IC.
Эти токи могут превышать общий ток I в цепи
в BL/G (Bc/G) раз, если BL = BC > G.

I

cosφ=1

Резонанс токов

С

(R1 – jXL) =
Активная проводимость.
Индуктивная проводимость:
Полная проводимость ветви с R и C
Y2 = 1/Z2 = 1/( R2 – jXC) = (R2+JXC)/[(R2− jXC)(R2 + jXC)] =
Емкостная проводимость

Комплексный ток цепи:

Полная проводимость ветви с R и L

Полная проводимость всей цепи при BL > BC:

=

Активная проводимость

Параллельное соединение ветвей с разным характером нагрузки

2

−jφ

Y= Y1 + Y2 = (G1 + G2)+ j(BC – BL) = Y е

мощности
промышленных предприятий.

Реактивная мощность конденсаторной батареи уменьшает общую реактивную мощность
установки, так как Q = QL – QC, и тем самым увеличивает коэффициент мощности.
Повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока в проводах, соединяющих
потребитель с источником питания и полной мощности источника.

İл1

Повышение коэффициента мощности

в которой протекает ток Imахsin(ωt - φ), мгновенная мощность, поступающая в цепь будет равна:
р = UmaxImax sinωtsin(ωt - φ ) = UI((cos φ − cos(2ωt − φ ))
имеет две составляющие: постоянную UIcos φ и косинусоидальную, UI(cos(2ωt − φ),
имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.
Среднее значение второй составляющей за время Т, в течение которого она совершает
два цикла изменений, равна нулю.

Активная мощность однофазной цепи P, Вт (кВт):

Реактивная мощность Q, вар(квар):
Q = UIsinφ = I2X = U2B,
где X = XL – XC − реактивное сопротивление;
B = BL – BC − реактивная проводимость;
Q = QL − QC, где QL − индуктивная мощность,
QC − емкостная мощность, Q − реактивная мощность.
Полная мощность S, В∙А(кВ∙А),:

:
S = Sejφ =

= UIcosφ + jUIsinφ =P+jQ,ВА

Комплексная полная мощность: S , В•А (кВ∙А):

Мощность однофазной цепи синусоидального тока

S=

= I2Z = U2Y

сопротивления отдельных ветвей и всей цепи;
2) в зависимости от типа электрической цепи выбирают метод расчета цепи
(если цепь простая – метод свертывания; сложная – какой-либо из методов
расчета сложных цепей);
3) определяют токи и напряжения ветвей;
4) правильность расчета проверяют составлением баланса активных и реактивных
мощностей:
Рист = Σ Рпр , Qист = Σ Qпр, Sист =

I* = Pист ± jQист ,

Методика расчета однофазных цепей синусоидального тока