Элементы линейной алгебры в электротехнике (электронное учебное пособие)

Цели проекта:

Исследовать возможность применения знаний элементов линейной алгебры на занятиях электротехники
Создать

Структура электронного учебного пособия

Пособие состоит из трех частей:
Элементы линейной алгебры (теоретический

Элементы линейной алгебры в электротехнике

Выполнил: Вараксин Р.А. гр.203
Преподаватели: Никитина Н.В., Касаткина

Содержание

Элементы линейной алгебры
Электротехника
Электротехническая задача
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса в

Содержание

Определение матрицы
Виды матриц
Действия над матрицами
Системы линейных уравнений и их решения
Решение систем

Определение матрицы

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m

Элементы матриц и их обозначения

Числа aij, входящие в состав матрицы, называются ее

Виды матриц

Прямоугольная Квадратная
(m ≠n) (m=n)

Для квадратной матрицы определено понятие диагоналей

Частные

Прямоугольная матрица

Если в матрице типа m×n, m=1,то матрица называется матрица-строка

Если

Квадратная матрица

Диагональная
Скалярная
Единичная
Треугольная: нижняя, верхняя

Диагонали матриц

Диагональ, содержащую элементы а11,а22,…, аmn, будем называть главной,
а диагональ

Диагональная матрица

Матрица называется диагональной, если все элементы матрицы, кроме элементов главной

Скалярная матрица

Если все элементы главной диагонали диагональной матрицы равны между собой,

Единичная матрица

Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1,

Треугольная матрица

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие выше (или ниже)

Действия над матрицами

Сложение
Умножение матрицы на число
Транспонирование
Умножение матриц

Сложение матриц

Определение: Суммой двух матриц А и В называется
матрица

Свойства сложения матриц

Переместительный закон сложения:
А+В = В+А, где А

Умножение матрицы на число

Определение: Произведением матрицы А на число k называется

Транспонирование матрицы

Определение: Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем

Умножение матриц

Что бы получить элемент, стоящий на пересечении строки и столбца

Свойства умножения матриц

Произведение не подчиняется переместительному закону:
А·В ≠ В·А
Сочетательный

Системы линейных уравнений

Решение уравнений методом Гаусса

«Математика – царица всех наук» Карл Фридрих Гаусс (1777-1855 г.г.) –

В чем его суть?

Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к

Прямой ход

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
Умножение и деление коэффициентов

Содержание

Электрическая схема (справочный материал)
Расчет цепи постоянного тока
Алгоритм расчета цепей методом уравнений

Расчет цепей постоянного тока сводится к нахождению токов, протекающих по ветвям

Электрическая Схема - графическое изображение электрических цепейэлектронных, электро- или радиотехнических устройств, на котором условнымиобозначениями

Узел- место соединения трех и более ветвей

А

B

C

D

Ветвь – участок цепи между двумя узлами

А

B

C

D

АВ

АС

АD

BD

BC

DC

Алгоритм расчета цепей методом уравнений Кирхгофа
1. Определить узлы и ветви в

Первый закон Кирхгофа

Сумма токов в узле равна нулю
∑I=0
Если ток входит в

В каждой ветви протекает свой ток, причем направление тока в ветви

Первый закон Кирxгофа для данной схемы

А: I1+I2-I3=0
B: -I1-I4-I5=0
C: -I2+I5+I6=0
D: I3+I4-I6=0

А

B

C

D

I1

I2

I3

I4

I5

I6

Первый закон Кирхгофа для данной схемы

А: I1+I2-I3=0
B: -I1-I4-I5=0
C: -I2+I5+I6=0
D: I3+I4-I6=0

А

B

C

D

I1

I2

I3

I4

I5

I6

Второй закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме

Второй закон Кирxгофа для данной схемы

ADBA:
E1=I3·R6-I4·R3+I1·R4
BDCB:
-E1=I4·R3+I6·R1-I5·R5
ACA:
E2=-I2·R2-I6·R1-I3·R6

А

B

C

D

I1

I2

I3

I4

I5

I6

Количество уравнений
Общее количество уравнений равно числу ветвей.
Из них количество уравнений

Система уравнений с 6 неизвестными:
1. I1+I2-I3=0
2. -I1-I4-I5=0
3. -I2+I5+I6=0
4. E1=I3·R6-I4·R3+I1·R4
5. -E1=I4·R3+I6·R1-I5·R5
6. E2=

Электротехническая задача

Дано:
R1=2Ом
R2=3Ом
R3=5Ом
R4=2Ом
R5=4Ом
R6=1Ом
E1=10B
E2=40B
Найти: I1-I6-?

А

B

C

D

I3

I4

I6

Дана электрическая цепь с заданными параметрами. Найти протекающие токи.

1. Составим расширенную матрицу по условию задачи

2. От 2 и 4

5. от 2, 4 и 6 строк отнимаем 3 строку, умноженную

9. от 1, 2, 3, 4 и 6 строк отнимаем 5

Найдем силы тока

Вывод: Если ток получился отрицательным, то нужно изменить направление