Фазовая и групповая скорость волн де-Бройля. Волновой пакет

Август 4, 2022

Главная
Физика
Фазовая и групповая скорость волн де-Бройля. Волновой пакет

Содержание

2. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ Плоская монохроматическая волна с амплитудой А, частотой ω и волновым вектором k может быть
3. Продифференцируем (6.2) по времени: откуда , где - фазовая скорость. По формулам (5.2) и (5.3) находим:
4. Суперпозиция волн Рассмотренная выше плоская монохроматическая волна представляет собой строго периодический процесс, бесконечно протяженный в пространстве
5. Образование волновой группы Рассмотрим простейший случай: суперпозицию двух волн распространяющихся вдоль оси x. Будем считать, что
6. Тогда (6.4) Результат изобра- жен на рисунке. Получились вол- новые группы, движущиеся с оп- ределенной скорос-
7. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ Скорость перемещения волновой группы - это ско-рость перемещения определенной амплитуды. Для ее определения запишем
8. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛН ДЕ-БРОЙЛЯ Для волн де-Бройля: (6.8) Таким образом, "обычная", т.е. измеряемая в эксперименте скорость
9. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ФАЗОВОЙ И ГРУППОВОЙ СКОРОСТЬЮ ВОЛН ДЕ-БРОЙЛЯ Вернемся к формуле (6.3) и запишем ее в
10. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ Путем наложения (супер- позиции) плоских волн с непрерывно меняющими- ся волновыми числами можно осуществить
11. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ Вследствие непрерывного изменения волнового чи-сла k сложение волн представляется интегралом (6.10) где амплитуду a
12. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ Для малого интервала Δk в формуле (6.11) мо-жно ограничиться первыми двумя членами разложения. Подставляя
13. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ Интеграл (6.12) легко вычисляется с помощью за-мены переменной. Обозначим тогда и интеграл (6.10) принимает
14. Подставляя пределы и умножая числитель и знаме-натель на Δk, получаем: (6.13) Этот результат можно интерпретировать так
15. Групповая скорость волнового пакета Обозначим: (6.15) Тогда формулу (6.14) можно записать в виде: (6.16) Таким образом,
16. Групповая скорость волнового пакета Итак, множитель при имеет максимум, равный 1. Скорость перемещения этого максиму-ма можно
17. Волновой пакет Итак, в результате суперпозиции волн получился волновой пакет с амплитудой примерный вид которой изображен
19. Скачать презентацию

Слайд 2

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ
Плоская монохроматическая волна с амплитудой А, частотой ω и волновым

вектором k может быть представлена в комплексной форме в виде:
(6.1)
Фазовой скоростью волны называется скорость, с которой движутся точки волны с постоянной фа-зой. Если ось x направлена по вектору p, то усло-вие постоянства фазы
Et - px = const. (6.2)
Чтобы вычислить фазовую скорость, надо продиф-ференцировать это уравнение по времени.

Слайд 3

Продифференцируем (6.2) по времени:
откуда , где - фазовая скорость.
По формулам (5.2)

и (5.3) находим:
С другой стороны:
где v - скорость частицы.
Итак, фазовая скорость: (6.3)

Слайд 4

Суперпозиция волн
Рассмотренная выше плоская монохроматическая волна представляет собой строго периодический процесс,

бесконечно протяженный в пространстве и во времени. Это абстракция: ни в природе, ни в технике такие волны не существуют. Любой реаль-ный процесс имеет начало и конец, он ограничен как во времени, так и в пространстве и не являет-ся строго гармоническим. Его можно рассматри-вать как результат суперпозиции (наложения) некоторого количества монохроматических волн, которые вследствие интерференции в одних час-тях пространства усиливают друг друга, а в других - гасят друг друга.

Слайд 5

Образование волновой группы
Рассмотрим простейший случай: суперпозицию двух волн
распространяющихся вдоль оси x.

Будем считать, что частоты ω1 и ω2, а также абсолютные значения волнового вектора k1 и k2 очень мало отличаются друг от друга. Складывая u1 и u2, находим:
Обозначим:

Слайд 6

Тогда (6.4)
Результат изобра-
жен на рисунке.
Получились вол-
новые группы,
движущиеся с оп-
ределенной скорос-
тью вдоль

оси x. Т.к. частоты и волновые числа
очень мало различаются, можно считать, что пер-
вый множитель в (6.4):
(6.5)
представляет собой медленно меняющуюся ампли-туду модулированной волны.

Слайд 7

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
Скорость перемещения волновой группы - это ско-рость перемещения определенной амплитуды.

Для ее определения запишем условие постоянст-ва амплитуды:
(6.6)
Дифференцируя (6.6) по t, получаем скорость пере-мещения волновой группы:
В пределе получаем формулу для груп-повой скорости:
(6.7)

Слайд 8

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛН ДЕ-БРОЙЛЯ
Для волн де-Бройля:
(6.8)
Таким образом, "обычная", т.е. измеряемая

в эксперименте скорость частицы v равна групповой скорости волн де-Бройля vгр

Слайд 9

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ФАЗОВОЙ И ГРУППОВОЙ
СКОРОСТЬЮ ВОЛН ДЕ-БРОЙЛЯ
Вернемся к формуле (6.3) и

запишем ее в виде
или (6.9)
Из этой формулы следует, что фазовая скорость волн де-Бройля всегда больше скорости света (т.к. скорость частицы v всегда меньше скорости све-та). Это, однако, не противоречит теории относи-тельности, т.к. фазовая скорость не характеризует ни скорость перемещения массы, ни скорость пе-ремещения энергии.

Слайд 10

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Путем наложения (супер-
позиции) плоских волн с
непрерывно меняющими-
ся волновыми числами
можно осуществить

такой
волновой процесс, при ко-
тором амплитуда волны будет заметно отли-
чаться от нуля только в небольшой части
пространства, а в остальном пространстве бу-
дет почти равна нулю. Такой волновой про-
цесс называется волновым пакетом.

Слайд 11

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Вследствие непрерывного изменения волнового чи-сла k сложение волн представляется интегралом
(6.10)
где

амплитуду a складываемых волн будем считать постоянной во всем интервале от -Δk до +Δk.
Какова бы ни была зависимость частоты ω от волно-вого числа k, ее можно представить в виде ряда
(6.11)

Слайд 12

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Для малого интервала Δk в формуле (6.11) мо-жно ограничиться первыми

двумя членами разложения. Подставляя в (6.10), получаем
(6.12)
где для краткости обозначено:

Слайд 13

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Интеграл (6.12) легко вычисляется с помощью за-мены переменной. Обозначим
тогда
и интеграл

(6.10) принимает вид:

Слайд 14

Подставляя пределы и умножая числитель и знаме-натель на Δk, получаем:
(6.13)
Этот результат

можно интерпретировать так же, как формулу (6.4): представляет собой рассматриваемый волновой процесс, а стоящий перед ним множитель - переменную (модулиро-ванную) амплитуду:
(6.14)

Слайд 15

Групповая скорость волнового пакета
Обозначим:
(6.15)
Тогда формулу (6.14) можно записать в виде:
(6.16)
Таким образом,

характер изменения амплитуды оп-
ределяется множителем , который при
равен 1 (точнее, имеет предел, равный 1 при ).
При увеличении он убывает, и при
обращается в нуль. В промежутках между этими
значениями он имеет второстепенные максимумы,
но с точностью 5% можно считать, что весь ход фун-
кции сосредоточен на интервале , а за
пределами этого интервала он равен нулю.

Слайд 16

Групповая скорость волнового пакета
Итак, множитель при имеет максимум, равный 1. Скорость

перемещения этого максиму-ма можно считать скоростью перемещения всего волнового пакета. Для ее определения запишем условие :
Дифференцируя по t, находим:
(6.17)
Сравнивая с формулой (6.7), видим, что скорость перемещения волнового пакета равна групповой скорости волн де-Бройля.

Слайд 17

Волновой пакет
Итак, в результате суперпозиции
волн получился волновой пакет с
амплитудой
примерный вид которой

изображен на рисунке. Вол-
новой пакет движется со скоростью, равной группо-
вой скорости волн де-Бройля, которая, в свою оче-
редь, равна скорости частицы. Ширина пакета Δx об-
ратно пропорциональна интервалу Δk волновых чи-
сел волн, образующих пакет:
(7.8)

Фазовая и групповая скорость волн де-Бройля. Волновой пакет

Содержание

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬПлоская монохроматическая волна с амплитудой А, частотой ω и волновым

Продифференцируем (6.2) по времени:откуда , где - фазовая скорость.По формулам (5.2)

Суперпозиция волнРассмотренная выше плоская монохроматическая волна представляет собой строго периодический процесс,

Образование волновой группыРассмотрим простейший случай: суперпозицию двух волнраспространяющихся вдоль оси x.

Тогда (6.4)Результат изобра-жен на рисунке.Получились вол-новые группы,движущиеся с оп-ределенной скорос-тью вдоль

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬСкорость перемещения волновой группы - это ско-рость перемещения определенной амплитуды.

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛН ДЕ-БРОЙЛЯДля волн де-Бройля:(6.8) Таким образом, "обычная", т.е. измеряемая

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ФАЗОВОЙ И ГРУППОВОЙСКОРОСТЬЮ ВОЛН ДЕ-БРОЙЛЯВернемся к формуле (6.3) и

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТПутем наложения (супер-позиции) плоских волн снепрерывно меняющими-ся волновыми числамиможно осуществить

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТВследствие непрерывного изменения волнового чи-сла k сложение волн представляется интегралом(6.10)где

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТДля малого интервала Δk в формуле (6.11) мо-жно ограничиться первыми

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТИнтеграл (6.12) легко вычисляется с помощью за-мены переменной. Обозначимтогдаи интеграл

Подставляя пределы и умножая числитель и знаме-натель на Δk, получаем:(6.13)Этот результат

Групповая скорость волнового пакетаОбозначим:(6.15)Тогда формулу (6.14) можно записать в виде:(6.16)Таким образом,

Групповая скорость волнового пакетаИтак, множитель при имеет максимум, равный 1. Скорость

Волновой пакетИтак, в результате суперпозицииволн получился волновой пакет самплитудойпримерный вид которой

Похожие презентации