Физический эксперимент. Статистическая обработка результатов физического эксперимента

Д.И. Менделеев, который был великим теоретиком и экспериментатором, писал:
«Наука начинается там, где начинают измерять. Точная наука немыслима без меры»

Измерительная техника является составной частью более общей отрасли техники – приборостроения и информационной техники. Эта отрасль охватывает средства измерения, анализа, обработки и представления информации, устройства регулирования, автоматизированные системы управления экспериментом и измерением.

ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Галилею принадлежит изречение:
«Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является»

ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Измерение – нахождение значения физической величины с помощью специальных технических средств (измерительных приборов).
Измерения могут быть прямыми, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (показания измерительных приборов), и косвенными, при которых значение физической величины рассчитывают на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми путем прямых измерений.

Основное качество измерения – его точность. Оценка точности результата измерения – неотъемлемая часть эксперимента. Эту оценку модно сделать, найдя погрешность измерения.

Однако, несовершенство средств измерений, физическая природа самой измеряемой величины, а также другие факторы приводят к тому, что эксперимент дает не истинное значение физической величины, а ее приближенное значение.

Действительным значением физической величины называют значение физической величины, найденное экспериментальным путем. Это значение должно быть достаточно близко к истинному значению, чтобы быть использованным вместо него.

При многократных измерениях в качестве действительного значения физической величины принимают среднее арифметическое значение результатов измерений.

Доверительный интервал

1.Проводят серию из n измерений.

2.Вычисляют среднее арифметическое значение результатов измерений.

3.Используя методы математической статистики и теории вероятностей определяют ширину доверительного интервала, о котором известно, что истинное значение измеряемой физической величины лежит в его пределах с заданной вероятностью.

4.Абсолютную погрешность принимают равной половине ширины доверительного интервала.

5.Значение измеренной физической величины записывают в виде

Эта запись эквивалентна утверждению, что истинное значение находится в пределах доверительного интервала:

Абсолютная погрешность – разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой физической величины. Абсолютная погрешность выражается в единицах измерения физической величины.
При однократных измерениях
Δx = |xизм – x| ,
где x – истинное значение; xизм – измеренное значение.

При многократных измерениях
где x – истинное значение; – среднее арифметическое значение.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности измерения к измеренному значению физической величины:

- безразмерная величина,

- в процентах

либо

Случайная погрешность – составляющая погрешности, изменяющаяся случайным (непредсказуемым) образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Грубая погрешность (промах) – погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погрешность.
Как правило, это связано с грубой ошибкой экспериментатора.

Погрешность эксперимента – совокупность погрешностей, связанных непосредственно с измерениями. Это погрешность отсчитывания показаний приборов, погрешность интерполяции, погрешность от параллакса и т.п.

Погрешность средств измерения – инструментальная погрешность. Она зависит от погрешностей, связанных с принципом действия и точностью изготовления применяемых измерительных приборов. Включает в себя как систематическую, так и случайную составляющие.

Погрешность прямого измерения включает в себя погрешность средств измерения и случайную погрешность.

Данные об измерительных приборах записывают в таблицу спецификации измерительных приборов, которая является неотъемлемой частью протокола измерений.

Таблица 1. Спецификация измерительных приборов

Для однократных измерений

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Цена деления линейки 1 мм

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Штангенциркуль

Цена деления нониуса 0,1 мм

Нониус

Основная шкала

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Микрометр

Основная шкала

Дополнительная шкала на барабанчике.

Цена деления барабанчика 0,01 мм

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Цена деления шкалы секундомера 0,2 с

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Случайная погрешность проявляется в разбросе экспериментальных данных при измерении одной и той же физической величины при одинаковых условиях и рассчитывается по формуле Стьюдента:

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

х

Δ xсл

Доверительный интервал

Еще один фактор, влияющий на ширину доверительного интервала – надежность данной серии экспериментов, чем больше число измерений n, тем более надежным является эксперимент и тем меньше ширина доверительного интервала.

Число измерений следует выбирать таким, чтобы случайная погрешность была меньше погрешности средств измерения.

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле

где Δxi – погрешности прямых измерений; −частные производные.

ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

При косвенном измерении искомое значение физической величины рассчитывают используя известную зависимость (формулу) между этой величиной и другими величинами, определяемыми путем прямых измерений.

В формулу кроме результатов прямых измерений могут входить также физические постоянные, табличные значения и данные экспериментальной установки.

ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Пример:

ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

и затем абсолютную погрешность

Учет погрешностей трансцендентных и иррациональных величин

Обычно в расчетную формулу подставляют округленные значения таких величин:

Если при этом взять на одну значащую цифру больше, чем число значащих цифр в результатах прямых измерений, то относительная погрешность округления будет заведомо много меньше относительной погрешности прямых измерений. В таком случае данное число можно считать точным и его погрешностью пренебречь.

В результате прямых измерений получено значение радиуса
r = (1,35 ± 0,03) см.

Учет погрешностей трансцендентных и иррациональных величин

В этом случае число π можно считать точным и относительную погрешность площади рассчитать по формуле

Формула для определения относительной погрешности имеет вид

Учет погрешностей физических постоянных,
табличных значений, данных установок

τ = 123,02 с

Δτ = ± 0,005 с

Δl = ± 0,5 мм

Δm = ±0,05 г

т = 123,4 г

l = 123 мм

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – это цифры.

− 65,32 − это число.

Число состоит из знака, цифр и разделителя.

разряд десятков

разряд единиц

разряд десятых

разряд сотых

Половина единицы разряда сотых – 0,005

h

R

Радиус цилиндра задан R = 18 мм.
Высота цилиндра h определяется путем прямого измерения. Измерения проводятся штангенциркулем с ценой деления нониуса 0,1 мм.

Таблица 1. Спецификация измерительных приборов

Данные установки:

R = 18 мм;

ΔR = ± 0,5 мм.

Объем рассчитываем по формуле:

Таблица 2. Измерение высоты образующей цилиндра

По результатам измерений определим среднее значение h:

Таблица 2. Измерение высоты образующей цилиндра

формулу для вычисления относительной погрешности :

Для доверительной вероятности P = 0,95 и числа измерений n = 5 коэффициент Стьюдента tp,n = 2,776 (значения коэффициента Стьюдента приведены в таблице) .

Δhсл = 0,34 мм

Результирующая абсолютная погрешность:

ΔV = δVVср = 0,063·12411,792 = 781,943 мм3.

Vср = 12411,792 мм3.

Как правильно округлить значение погрешности и среднего значения?

Вычислим относительную погрешность измерения высоты и радиуса цилиндра:

1,037 ≈

Правила округления результатов измерений

Сначала округляется значение абсолютной погрешности:

– если первая значащая цифра 1 или 2, то значение погрешности округляется до двух значащих цифр;

0,235 ≈

0,502 ≈

165,43 ≈

0, 125 ≈

0,045 ≈

7,434 ≈

735,32 ≈

13,85

Округляем до двух цифр

14

3,85

Округляем до одной цифры

4

0,13

0,5

1,0

0,24

1,7⋅102

7

0,05

7⋅102

Правила округления результатов измерений

Среднее значение:

163,248 мм

Погрешность:

0,235 мм

0,24 мм

163,25 мм

l =( 163,25± 0,24) мм

(467,202 ± 0,502) ≈

(467,2 ± 0,5)

(123,072 ± 1,04) ≈

(123,1 ± 1,0)

(1234,5 ± 165,4) ≈

(1,23 ± 0,17)⋅103

124·102 мм3

V = (124 ± 8)·102 мм3,

Р = 0,95

Запишем окончательный результат измерения объема цилиндра:

V = (12,4 ± 0,8) см3,

или

Р = 0,95