Импульс и энергия. (Energy & Momentum)

– импульс тела (momentum)
dp = Fdt приращение импульса (импульс силы)
Для пары взаимодействующих тел:

F12

F21

m2

m1

ΔP1 = F21Δt

ΔP2 = F12Δt = -F21Δt = -ΔP1

Суммарный импульс пары взаимодействующих тел не меняется:
P1 + dP1 + P2 + dP2 = P1 + F21dt + P2 + F12dt = P1 + P2

а каждой паре равно нулю => суммарный импульс всей системы сохраняется:

Внутренние силы системы не меняют суммарный импульс системы. Он может измениться только под действием внешних сил.
Закон сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю (система замкнута) - суммарный импульс системы остается постоянным

Pсист = P1 + P2 + P3 + … = Σ Pi = Const

Закон сохранения импульса для замкнутой системы частиц

ПРИМЕР: Неупругое столкновение двух тел
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v

измениться только под действием внешних сил.

F2

F1

m2

m1

m3

m4

m5

Pсист = m1v1 + m2v2 + m3v3 + … = Mvc
M = Σ mi ; vс = (Σ mivi)/M – скорость центра масс системы
vс = (Σ midri /dt)/M = d(Σ miri /M)/dt) = drC /dt
rс = Σ miri //M – радиус-вектор центра масс системы
dPсист = dP1 + dP2 + dP3 + … = dtΣ Fi = dt Fвнеш =>
dPсист / dt = Σ Fi = Fвнеш = Mdvc /dt = Md2rc /dt2

Движение системы частиц под действием внешних сил

Уравнение движения для системы многих частиц точно такое-же как для одной материальной точки с массой M (масса системы), помещающейся в центре масс системы rс . Это позволяет изучать движение составного объекта как целого, не обращая внимания на его внутреннюю структуру и взаимодействие его частей

измениться только под действием внешних сил.

F2

F1

m2

m1

m3

m4

m5

dPсист / dt = Σ Fi = Fвнеш = Mdvc /dt = Md2rc /dt2

Движение системы частиц под действием внешних сил

Уравнение движения для системы многих частиц точно такое-же как для одной материальной точки с массой M (масса системы), помещающейся в центре масс системы rс .
Движение составного объекта допустимо рассматривать, не вникая в его внутреннюю структуру и не учитывая взаимодействие его частей! Ура!

геометрический центр симметрии.

Для однородного стержня - середина стержня.
Для однородного диска или сферы - центр диска или сферы

Центр масс твердого тела

масс каждой части “кочерги” - в середине. Их массы пропорциональны их длинам.
Центр масс всей “кочерги” находим, по правилу для двух материальных точек:
L1d1 = L2d2

Центр масс твердого тела

тела тогда, когда вертикаль, опущенная из точки подвеса, проходит через центр масс тела
ПРИЧИНА:
Рассматривая действие внешних сил на тело, его можно считать точкой, находящейся в центре масс.
Силы (тяжести и реакции опоры) в состоянии равновесия компенсируют друг друга, не создавая вращающего момента

Центр масс твердого тела

движении.
Закон рычага и других простых (и не очень) механизмов: F1/F2 = L2/L1
или F1/L1 = F2L2
Произведение силы на величину совершенного движения – мера совершаемой работы

Архимед Ἀρχιμήδης
287 -212 до н.э., Сиракузы, Сицилия

до точки 2
Мгновенная мощность силы
Определение работы по известной зависимости мощности от времени
Средняя мощность силы

Дадим определения: Работа. Мощность.

в виде:

Величину T = mV2/2 называют кинетической энергией материальной точки. Элементарная работа суммарной силы, действующей на материальную точку, идет на приращение ее кинетической энергии. И наоборот: за счет потери кинетической энергии тело может совершить механическую работу

Энергия = мера способности тела произвести работу..

описывал движение только его количеством (импульсом). Лейбниц mv2 (без 1/2) называл vis viva (буквально - жизненная сила), но точного физического смысла этой величины не сформулировал. Термин «кинетическая энергия» в применении к этой величине предложил Т. Юнг в 1809 году, и только в 1829 году Гаспар де Кориолис установил связь механической работы А и кинетической энергии mv2/2. Понятие потенциальной энергии появилось в механике еще позже – (~1853) года в работах В. Ренкина и Г. Гельмгольца

Thomas Young G.-G. de Coriolis W.J.Renkin H. Helmholz
1773-1858 1792-1843 1820-72 1821-94

формы траектории, а зависит только от начального и конечного положений частицы.
Работа неконсервативных сил зависит от формы траектории.

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю

от начального и конечного положений частицы.
СЛЕДСТВИЕ: для консервативных сил можно ввести понятие потенциальной энергии, зависящей исключительно от координат точки в поле консервативной силы.

Работа консервативной силы равна разности потенциальных энергий объекта в начальной и конечной точках траектории: А12 = U1 - U2
В частности, для 2-х близких точек:
dА12 = U(r) - U (r+dr) = -(dr,dU/dr) =
= -dx(дU/дх)- dy(дU/дy)- dz(дU/дz)

Физический смысл имеет именно разность значений потенциальной энергии между разными точками. Абсолютное значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого уровня, какой удобен

Консервативные и неконсервативные силы.

траектории dr совершает элементарную работу dA = m(g, dr) = -mg dz

F

dr

z

dz

На конечном участке траектории между точками 1 и 2 работа равна:

z1

z2

Работа зависит только от начальной и конечной точек траектории. Сила тяжести - консервативная сила

Потенциальная энергия силы тяжести: U = mgz. Отсчитывать вертикальную координату z можно от любого уровня, какой удобен в той или иной задаче.

недеформированного состояния (Δx=0):
U = kΔx2/2

X

ΔX1 -
начальное
удлинение

ΔX2 -
конечное
удлинение

ΔX1

ΔX2

ΔX

F

ΔA = F ΔX

F2 = k ΔX2

F1 = k ΔX1

Работа численно равна площади под графиком F(x). При увеличении деформа-ции пружины она отрицательна:
A12 = (-kΔx)dΔx = k(Δx12 -Δx22)/2

определяется величинами масс взаимодействующих тел и расстоянием между ними:

Потенциальную энергию гравитационного взаимодействия естественно считать равной нулю при бесконечном взаимоудалении тел, При сближении она уменьшается и становится отрицательной.

r2

Центральная сила - это сила, направленная от центра поля, модуль которой зависит только от расстояния до центра.
ПРИМЕРЫ: сила Кулона, сила гравитации (на больших расстояниях)

Работа гравитационной силы при сближении тел с массами M и m от расстояния r1 до расстояния r2 равна:
A12 = (-GMm/r2)dr = GMm(1/r2 – 1/r1) = U1 - U2

консервативной силы на оси декартовой системы координат верны соотношения
,

Связь между потенциальной энергией и силой.

знаком.
Консервативная сила, действующая на частицу всегда перпендикулярна к эквипотенциальным поверхностям и направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

Связь между потенциальной энергией и силой.

= - dU/dr

= -(dU /dx)ex
Положения равновесия отвечают
экстремумам функции U(x), где Fx = 0
Возле экстремума (точка х0) функция
U(x)=U(x0)+(x-x0)dU/dx+((x-x0)2/2)d2U/dx 2+..+
= U(x0) + ((x - x0)2/2)d2U/dx 2 + ….
Fx = - dU/dx =~ - (x-x0)d2U/dx 2
Если x0 - максимум (d2U/dx 2 < 0) => сила направлена от положения равновесия, равновесие неустойчивое
Если x0 - минимум (d2U/dx 2 > 0) => сила направлена к положению равновесия, равновесие устойчивое

Условия равновесия системы с одной степенью свободы.

траектории.

v

Fтр

Сила трения направлена против скорости движения материальной точки.

Элементарная работа силы трения равна.

dA = (F, dr) = -Fds,
где ds - элемент пройденного пути.

Работа силы трения на пути между точками 1 и 2 равна.

A12 = Fds,
.

1

2

На обратном пути пути между точками 2 и 1 работа снова равна.

A21 = Fds,
.

Работа силы трения всегда отрицательна.

v

Fтр

точки в поле консервативной силы.
Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии
….. и может пойти на приращение кинетической энергии точки
dA12cons = dT
=> Сумма потенциальной и кинетической энергии точки, движущейся в консервативном поле сил, остается неизменной U + T = Const

Потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле.

механическая энергия
Приращение полной механической энергии равно работе сторонних (неконсервативных) сил

Если сторонние НЕ консервативные силы на частицу не действуют - ее полная механическая энергия сохраняется!
(Закон сохранения энергии)

в потенциальном, стационарном поле сил и на нее действует сила трения – уравнение баланса энергии
Замкнутая система взаимодействующих материальных точек, в которой нет НЕ консервативных сил.

Закон сохранения энергии Некоторые частные случаи

над силой трения положительную работу за счет своей энергий, которая, соответственно, уменьшается. При наличии неконсервативных сил, действующих на тело, вместо закона сохранения энергии следует использовать уравнение баланса энергий:
Е1 (=U1+T1 ) = Е2 (=U2+T2) + А´
где А´ - работа, совершенная телом против неконсервативных сил (трения).

Закон сохранения энергии (или уравнение баланса энергии) можно применять не только к отдельным телам, но и к системам взаимодействующих тел. Полная механическая энергия (потенциальная плюс кинетическая) нескольких тел, объединяемых в систему, тоже будет сохраняться за вычетом тех Джоулей, что все тела системы потратят на работу против неконсервативных сил

(GMЗ/RЗ)1/2 позволяет космическому кораблю (спутнику) оставаться на круговой орбите вблизи поверхности Земли, не падая на Землю, но и не удаляясь далеко от планеты.
Полная энергия спутника на ближней околоземной орбите равна сумме кинетической и потенциальной: E = mv12/2 –GMЗm/RЗ = –GMЗm/2RЗ<0
На большом (бесконечном) отдалении от Земли потенциальная энергия равна нулю, да еще должна быть какая-то пусть и маленькая кинетическая. Следовательно, полная энергия даже вблизи поверхности Земли должна быть положительной – тогда он сможет «обменять» кинетическую энергию на потенциальную и остаться в» в плюсе» даже вдали от планеты.
Условие осуществления этого: E =mv2/2 –GMЗm/RЗ>0. Минимальная скорость позволяющая уйти за пределы поля земного притяжения называется второй космической: v2 = (2GMЗ/RЗ)1/2=~11,6 км/c

полный импульс в ц - системе, равный нулю

- теорема Кенига

Связь кинетической энергии системы частиц в ц–системе и в л–системе.