Лекция 12. Изгибные колебания стержня

Если стержень имеет постоянные по длине характеристики EJ = const,
= const, то уравнение для исследования собственных колебаний будет следующим:

Функция w(x, t) на концах стержня должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим характеру закрепления концов стержня.

Граничные условия для W(x) получают после подстановки в исходные условия выражения (10.3) и сокращения на временной множитель

Приводит к уравнению

Выделение временного множителя путем подстановки

Представление общего решения в виде (10.5) не является единственным.

В качестве фундаментальной системы могут быть использованы другие функции, являющиеся линейными комбинациями функций, входящих в (10.5).

В частности, вместо (10.5) можно взять выражение

Подстановка в краевые условия одного из видов общих решений (10.5), (10.6) приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных, входящих в эти решения.

Условия существования ненулевого решения для постоянных дает уравнение частот.

Ненулевое решение определяет форму собственных колебаний.

Фундаментальной системой Коши в случае изгибных колебаний стержней с постоянными по длине параметрами являются функции

Линейно-независимые функции , составляющие эту систему, являются линейными комбинациями функций, входящих в (10.5), и обладают тем свойством, что матрица Коши для этих функций при х = 0 является единичной

Фундаментальная система Коши .

Лекция 13. Изгибные колебания стержня

Таблицы численных значений функций Крылова можно найти в [100].

Функции Крылова и их производные связаны соотношениями (штрих означает дифференцирование по х)

Используя эти выражения, нетрудно получить выражения для производных от W(х)

Подстановка в краевые условия одного из видов общих решений (10.5), (10.6) или (10.10) с учетом (10.12) приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных, входящих в эти решения.

Условия существования ненулевого решения для постоянных дает уравнение частот.

Ненулевое решение определяет форму собственных колебаний.