Операторы физических величин

Август 3, 2022

Главная
Физика
Операторы физических величин

Содержание

2. Уравнение Шредингера (диф. уравнение в частных производных) можно решать традиционными ме-тодами, с использованием традиционных обозна-чений, что
3. В математическом аппарате современной квантовой механики большое значение имеет понятие опера-тора. В классической механике каждая физическая
4. В квантовой механике, вследствие принципа неопре-деленности, физические величины, как правило, не имеют определенных числовых значений, а
5. В квантовой механике применяются не любые опе-раторы, а только линейные и самосопряженные ("эрмитовы"). Условие линейности: для
6. Если в результате применения оператора к некото-рой функции ψ получается та же самая функция ψ, умноженная
7. Основные положения современной квантовой меха-ники формулируют в виде четырех постулатов, ко-торые являются обобщением экспериментальных фактов: 1).Состояние
8. 2) Каждая физическая величина, характеризующая движение частиц (эти величины называются дина-мическими переменными) представляется опреде-ленным линейным эрмитовым
9. Вычисление средних значений динамических переменных Среднее значение величины , принимающей зна- чения λ1, λ2 ,..., λn
10. Оператор координаты Выбор конкретного оператора для конкретной дина-мической переменной определяется согласием по-лученных результатов с экспериментом. Т.к.
11. Оператор импульса По определению собственного значения (13.4) урав-нение для проекции импульса на ось x должно иметь
12. Оператор Гамильтона В классической механике функцией Гамильтона на-зывается полная энергия, выраженная через им-пульсы и координаты частиц.
13. Оператор момента импульса В классической физике момент импульса частицы определяется как векторное произведение радиус-вектора частицы на
14. Оператор момента импульса в сферических координатах Связь декартовых и сферических координат: (13.17) Выполняя элементарные преобразования, находим:
15. Свойства суммы и разности операторов (13.2) ана-логичны алгебраическим свойствам суммы и раз-ности чисел, но свойства произведения
16. Условие одновременной измеримости различных динамических переменных Две динамические переменные F и G могут одновре-менно иметь определенные
17. Пример коммутирующих операторов Операторы и коммутируют: Аналогичные равенства можно записать для других проекций импульса: и ,
18. Примеры некоммутирующих операторов 1) Компонент импульса и соответствующая ему ко-ордината не коммутируют: (13.24) Таким образом (13.25)
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Уравнение Шредингера (диф. уравнение в частных производных) можно решать традиционными ме-тодами,

с использованием традиционных обозна-чений, что было проиллюстрировано при рассмот-рении предыдущих вопросов. При этом процедура решения и результаты выражаются с помощью до-вольно громоздких математических выражений.
Чтобы сделать записи более компактными, был раз-работан (М.Борн, П.Дирак) математический аппа-рат, основанный на применении линейных опера-торов. В дальнейшем выяснилось, что более удоб-ной формой записи польза этого аппарата не огра-ничивается. Оказалось, что с его помощью можно учесть спин электрона, а также некоторые другие релятивистские эффекты, которые прямо в урав-нении Шредингера на содержатся.

Слайд 3

В математическом аппарате современной квантовой механики большое значение имеет понятие опера-тора.
В

классической механике каждая физическая вели-чина (координата, скорость, импульс, энергия и др.) характеризуется числовым значением в ка-кой-либо точке пространства и (или) в какой-то мо-мент времени. Например, скорость частицы в каж-дый момент времени имеет вполне определенные числовые значения проекции vx, vy, vz на оси коор-динат; энергия частицы в каждый момент времени также имеет вполне определенные числовые зна-чения и т.д. Другими словами, физические величи-ны классической механики описываются функция-ми координат и времени.

Слайд 4

В квантовой механике, вследствие принципа неопре-деленности, физические величины, как правило, не

имеют определенных числовых значений, а мо-жно говорить только о вероятности получения того или иного значения (в некоторых случаях эта веро-ятность может быть равна 1). В связи с этим каж-дая физическая величина (координата, импульс, энергия и т.д.) характеризуется не числовым зна-чением, а оператором, который эту физическую величину представляет. Оператором называется правило, по которому из некоторого математичес-кого объекта ψ получается другой объект φ:
(13.1)
(при действии на функцию ψ оператором получа-ется величина φ).

Слайд 5

В квантовой механике применяются не любые опе-раторы, а только линейные и

самосопряженные ("эрмитовы").
Условие линейности: для любых функций ψ1 и ψ2 и любых постоянных чисел a1 и a2 должно выпол-няться равенство:
(13.2)
Условие самосопряжения: для любых двух функций ψ и φ должно выполняться равенство:
(13.3)
где интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных dV.

Слайд 6

Если в результате применения оператора к некото-рой функции ψ получается та

же самая функция ψ, умноженная на некоторое число λ, т.е. если
(13.4)
то такая функция называется собственной функцией этого оператора (собственные функции должны удовлетворять естественным условиям), а число λ называется собственным значением этого опера-тора. Совокупность всех собственных значений оператора называется его спектром. Смысл усло-вия самосопряженности заключается в том, что у таких операторов собственные значения являются действительными числами, а собственные функ-ции взаимно ортогональны и нормированы, т.е.
(13.5)

Слайд 7

Основные положения современной квантовой меха-ники формулируют в виде четырех постулатов, ко-торые

являются обобщением экспериментальных фактов:
1).Состояние микрочастицы или системы микрочас-тиц может быть описано определенной (вообще говоря, комплексной) функцией координат и вре-мени ψ(r,t), которая называется волновой функци-ей. Волновая функция полностью определяет сос-тояние физической системы (с той степенью пол-ноты, которая вообще допускается квантовой тео-рией). В частности, квадрат модуля этой функции определяет вероятность того, что проведенные измерения обнаружат значения координат частиц в данном элементе пространства (формула (7.9)).

Слайд 8

2) Каждая физическая величина, характеризующая движение частиц (эти величины называются дина-мическими

переменными) представляется опреде-ленным линейным эрмитовым оператором.
3) При измерении численного значения некоторой динамической переменной, представляемой опе-ратором , с определенной вероятностью получа-ется одно из чисел λ1, λ2 ,..., λn ,... являющихся соб-ственными значениями этого оператора .
4) Волновая функция ψ(r,t) подчиняется уравнению Шредингера, записанному в форме
(13.6)
где - оператор Гамильтона (гамильтониан).

Слайд 9

Вычисление средних значений
динамических переменных
Среднее значение величины , принимающей зна-
чения λ1, λ2

,..., λn с вероятностью ,
вычисляется по формуле
(13.7)
Плотность вероятности определяется квадратом мо-дуля нормированной волновой функции
поэтому формулу (13.7) можно обобщить на среднее значение любой динамической переменной:
(13.8)

Слайд 10

Оператор координаты
Выбор конкретного оператора для конкретной дина-мической переменной определяется согласием по-лученных

результатов с экспериментом. Т.к. вели-чина ψ*(x)ψ(x) характеризует плотность вероятнос-ти нахождения частицы в точке x, то среднее зна-чение координаты x, очевидно, равно
(13.9)
Сравнение (13.8) и (13.9) показывает, что операто-ром координаты является умножение волновой функции на эту координату:
(13.10)

Слайд 11

Оператор импульса
По определению собственного значения (13.4) урав-нение для проекции импульса на

ось x должно иметь вид:
Свободная частица, имеющая импульс px, представ-
ляется плоской волной с волновым числом
(формула (5.4)). Поэтому оператор импульса по про-
екциям:
(13.11)
или в векторной форме:
(13.12)

Слайд 12

Оператор Гамильтона
В классической механике функцией Гамильтона на-зывается полная энергия, выраженная через

им-пульсы и координаты частиц. Для одной частицы это
(13.13)
Чтобы найти оператор квадрата импульса, подейст-вуем 2 раза оператором импульса на волновую функцию:
Таким образом, оператор Гамильтона в квантовой механике имеет вид:
(13.14)

Слайд 13

Оператор момента импульса
В классической физике момент импульса частицы определяется как векторное

произведение радиус-вектора частицы на ее импульс:
(13.15)
Поэтому в квантовой теории проекциям момента им-пульса соответствуют операторы:
(13.16)

Слайд 14

Оператор момента импульса в сферических
координатах
Связь декартовых и сферических координат:
(13.17)
Выполняя элементарные преобразования,

находим:
(13.18)
Оператор квадрата момента импульса:
(13.19)
где
(13.20)
(оператор Лежандра)

Слайд 15

Свойства суммы и разности операторов (13.2) ана-логичны алгебраическим свойствам суммы и

раз-ности чисел, но свойства произведения операто-ров отличаются от алгебраических свойств чисел, а именно, результат произведения операторов мо-жет зависеть от порядка сомножителей. Если
(13.21)
то такие операторы наз. коммутирующими, а если
(13.22)
то операторы наз. некоммутирующими. В частности, может быть
(13.23)
такие операторы наз. антикоммутирующими.

Слайд 16

Условие одновременной измеримости
различных динамических переменных
Две динамические переменные F и G могут

одновре-менно иметь определенные значения только в тех случаях, когда волновая функция, описывающая состояние системы, является собственной функци-ей и оператора , и оператора . Такие операто-ры являются коммутирующими, т.е. , или коммутатор равен нулю: .
Действительно, пусть . Тогда

Слайд 17

Пример коммутирующих операторов
Операторы и коммутируют:
Аналогичные равенства можно записать для других

проекций импульса: и , и , поэтому все три компонента импульса коммутируют между со-бой, и могут одновременно иметь определенные значения.

Слайд 18

Примеры некоммутирующих операторов
1) Компонент импульса и соответствующая ему ко-ордината не коммутируют:
(13.24)
Таким

образом
(13.25)
Аналогичные выражения можно получить и для опе-раторов и , и . Это соответствует принципу и соотношениям неопределенности: ко-ордината и импульс микрочастицы не могут одно-временно иметь определенные значения.

Операторы физических величин

Содержание

Уравнение Шредингера (диф. уравнение в частных производных) можно решать традиционными ме-тодами,

В математическом аппарате современной квантовой механики большое значение имеет понятие опера-тора.В

В квантовой механике, вследствие принципа неопре-деленности, физические величины, как правило, не

В квантовой механике применяются не любые опе-раторы, а только линейные и

Если в результате применения оператора к некото-рой функции ψ получается та

Основные положения современной квантовой меха-ники формулируют в виде четырех постулатов, ко-торые

2) Каждая физическая величина, характеризующая движение частиц (эти величины называются дина-мическими

Вычисление средних значенийдинамических переменныхСреднее значение величины , принимающей зна-чения λ1, λ2

Оператор координатыВыбор конкретного оператора для конкретной дина-мической переменной определяется согласием по-лученных

Оператор импульсаПо определению собственного значения (13.4) урав-нение для проекции импульса на

Оператор ГамильтонаВ классической механике функцией Гамильтона на-зывается полная энергия, выраженная через

Оператор момента импульсаВ классической физике момент импульса частицы определяется как векторное

Оператор момента импульса в сферическихкоординатахСвязь декартовых и сферических координат:(13.17)Выполняя элементарные преобразования,