Плоская произвольная система сил

перенести параллельно ей самой в любую точку тела, прикладывая, при этом, пару с моментом, равным моменту силы относительно точки, куда сила переносится

С учетом всего сказанного ранее можно выполнить следующие преобразования:
заменить на рисунке два вектора F и F” , образующих пару, на круговую
стрелку, отображающую ту же пару сил;
2) силу F’ , приложенную в точке В, можно заменить на силу F, приложенную в
точке А, т.к. эти силы равны по модулю и направлены в одну сторону

Таким образом сила F, изначально приложенная в точке А, оказывается в точке В, но при этом появляется пара сил, момент которой равен моменту переносимой
силы F относительно точки B, куда эта сила должна быть перенесена. При этом мы выполнили условие о том, что при переносе силы ее действие на тело должно остаться без изменений.

А

В

m

Итак, мы получили возможность параллельно переносить силу,
не меняя при этом ее действие на тело.
Сформулируем это правило:

приведении к любому центру, находящемуся в этой же плоскости, заменяется главным вектором систе-мы, R, приложенным в этом центре и равным геометрической сумме сил системы, и главным моментом (парой сил) Мо, равным алгебраичес-кой сумме моментов сил системы относительно центра приведения

Итак, рассмотрим плоскую систему n сил, (F1…Fk…Fn), приложенных к телу.

Покажем, что в результате приведения (переноса) этих сил к произвольному
центру О, находящемуся в той же плоскости, что и система сил, все силы
могут быть заменены на два вектора R – главный вектор и Mо – главный момент

O

Воспользуемся правилом параллельного переноса и перенесем все силы в точку О.
Напомним, что при параллельном переносе силы необходимо прикладывать пару.

m1

mk

mn

В результате параллельного переноса всех сил в точку О (приведения системы) мы получили систему сходящихся в точке О сил и систему пар. Сложив ССС, получим главный вектор R,
а сложив систему пар – главный момент Мо

означает, что обе суммы равны нулю, т.е.

2) R=0, Mо≠0 - система сил приводится к одной паре с моментом Мо.
Это означает, что первая сумма оказалась равна нулю, а вторая сумма опреде-лила величину и направление действия (знак суммы) главного момента, Мо.
В этом случае вся исходная система сил эквивалентна паре (главному моменту);
исходя из свойств пары можно заключить, что положение центра приведения не влияет на конечный результат.

3) R≠0:

а) Мо=0 - система приводится к главному вектору R, который, в этом случае, выполняет функции равно-действующей (см. определение равнодействующей);

б) Мо≠0 - система приводится к главному вектору R, от-стоящему от центра приведения (∙)О на расстоянии d.

Итак, произвольная система сил вне зависимости от числа векторов может
быть заменена в общем случае на главный вектор, R, и главный момент, Мо.
Но могут быть и частные случаи приведения системы, которые и рассмотрим:

Это может показаться маловероятным, но природа равновесия
системы предполагает возможность некоторых сил (например, сил реакций)
изменять свои модули и направления, приводя к этому результату.

О

d

Действительно: заменим круговую стрелку Мо на 2 силы c модулем R, а затем снимем уравновешенную систему сил R, R” (Аксиома 2), получим силу R, отстоящую на

необходимо и достаточно чтобы ее главный вектор и главный момент были равны нулю

R = 0 MO= 0

Форма 1: для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую координатную ось, а также сумма их моментов относительно любого центра, находяще-гося в этой же плоскости, были равны нулю

Поскольку в плоскости любой вектор можно определить как

постольку R=0, если Rx=Ry=0.
Учитывая, что R является вектором суммы, т.к.

то на основе теоремы о проекции вектора суммы на ось, имеем:

Главный момент вычисляется как сумма моментов сил системы относительно произвольной точки:

Объединяя все это, получим удобное для использования
при решении задач уравнения равновесия системы сил:

суммы их моментов относительно двух произвольно выбранных центров А и В, и сумма проекций всех сил на ось x, не перпендикулярную к прямой, проходящей через эти центры, были равны нулю

Форма 3: для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы их моментов относительно трех центров, не лежащих на одной прямой, были равны нулю

Можно предложить еще две формы записи условий равновесия плоской системы сил. Следует иметь в виду, что все формы записи служат проверкой необходи-мого и достаточного условия равновесия, а именно R=Mo=0.

Условие выбора оси x связано с необходимостью предотвратить случай, когда
линия действия R может проходить через точки А и В, тем самым не позволит
проявить наличие R в первых двух уравнениях - плечо момента R относительно
А и В будет равно нулю. В этом случае уравнение суммы проекций сил на ось x
является последней возможностью удостовериться в наличии вектора R. Если же
ось x будет перпендикулярна прямой AB, то соответственно и проекция вектора
R будет равна нулю, и мы не сможем убедиться существует ли вектор R или нет.

Ту же цель преследует условие выбора точек А,В,С – проверка
наличия вектора R. Если эти точки окажутся на линии дейст-
вия R, то момент R относительно этих точек будет равен нулю.