Потенциальные течения

Август 20, 2022

Главная
Физика
Потенциальные течения

Содержание

2. Интеграл по замкнутому криволинейному контуру можно записать в декартовых координатах и применить формулу Стокса: Введя местную
3. Уравнение Эйлера Для плоского установившегося движения идеальной жидкости: Введя обозначение модуля скорости: w2 = u2 +
4. Уравнение Бернулли Проинтегрировав уравнение при ρ = const, получим уравнение для несжимаемой жидкости: Бернулли получил это
5. Рассмотрим плоское установившееся безвихревое движение Для безвихревого движения можно ввести потенциал скорости являющийся функцией φ(x, y),
6. Линия в жидкости, касательная к которой в любой ее точке параллельна направлению скорости, называется линией тока.
7. Рассмотрим сетку, образованную семейством линий тока ψ = const и линий равного потенциала φ = const.
8. Жидкость не может пересекать границу твердого тела, а значит проекция скорости на нормаль к поверхности ,
9. Примеры простейших потенциальных потоков Источник жидкости: комплексный потенциал Для удобства применим полярные координаты для комплексной переменной:
10. Комплексный потенциал вихря Линии тока – окружности, Линии равного потенциала - лучи. Окружная скорость жидкости Величина
11. Комплексный потенциал диполя , где q – момент диполя. Для удобства используем декартову СК: Приняв ψ
12. Потенциал обтекания окружности: Состоит из: плоскопараллельного потока диполя q = , вихря В полярной СК функции
13. Обтекание плоским потоком произвольного тела Выделим на контрольной поверхности S элементарную площадку ds*l и проведем к
14. Когда скорость невозмущенного потока направлена по оси ОХ и равна V∞, потенциал скорости можно записать в
15. Для определения силы лобового сопротивления тела X и подъемной силы У необходимо знать давление и скорость
16. Теорема Жуковского (1905г.) Если поток, имеющий в бесконечности скорость V∞, обтекает контур, и цирку-ляция скорости по
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Интеграл по замкнутому криволинейному контуру можно записать в декартовых координатах и

применить формулу Стокса:
Введя местную завихренность получим теорему Стокса:
где ds – элемент площади внутри контура.
Следовательно, если течение безвихревое, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру равна нулю: Г = 0.
Если циркуляция скорости по данному контуру равна нулю,
то нельзя утверждать, что течение безвихревое. Равна нулю
лишь суммарная завихренность внутри контура.

Слайд 3

Уравнение Эйлера
Для плоского установившегося
движения идеальной жидкости:
Введя обозначение
модуля скорости: w2 =

u2 + v2
получим уравнение
в виде Громека – Лэмба:
Для безвихревого движения
уравнения преобразуются в одно
уравнение в полных дифференциалах:

Слайд 4

Уравнение Бернулли
Проинтегрировав уравнение при ρ = const, получим
уравнение для несжимаемой

жидкости:
Бернулли получил это уравнение в 1738г.,
причем с учетом силы тяжести жидкости:
где h – высота столба жидкости.
Для изэнтропического течения сжимаемой жидкости в пространственном течении уравнение Бернулли принимает вид:

Слайд 5

Рассмотрим плоское установившееся безвихревое движение
Для безвихревого движения можно ввести потенциал скорости

являющийся функцией φ(x, y), удовлетворяющей условиям:
Так как потенциал скорости можно ввести только для
безвихревого движения, то такие течения называют потенциальными.
Для выполнения уравнения сохранения массы
потенциал скорости для несжимаемой жидкости
должен удовлетворять уравнению Лапласа:
Удобно ввести еще функцию тока: ψ(x, y),
удовлетворяющую условиям:
, также удовлетворяющую
уравнению Лапласа:

Слайд 6

Линия в жидкости, касательная к которой в любой ее точке параллельна

направлению скорости, называется линией тока.
На линиях тока функция тока принимает
постоянное значение,
т.е. уравнение семейства линий тока: ψ = const.
Производная потенциала скорости
на любое направление :
Выражение
равно сумме проекций скоростей u и v на направление l:
Проекция φ на нормаль к линии тока:

Слайд 7

Рассмотрим сетку, образованную
семейством линий тока ψ = const и
линий

равного потенциала φ = const.
Скорости потока касательны к линиям тока
и нормальны к линиям равного потенциала,
следовательно, сетка ортогональна.
Т.к. жидкость не может пересекать линий тока,
то между двумя любыми линиями тока
расход жидкости в любом сечении одинаков.
Расход жидкости через произвольную кривую между точками a и b:

Слайд 8

Жидкость не может пересекать границу твердого тела, а значит
проекция скорости на

нормаль к поверхности , т.е. скорость должна быть касательная к поверхности тела.
На обтекаемой поверхности получаем условия:
Они совпадают с определением линии тока, а значит любую линию тока можно считать твердой поверхностью, и наоборот.
Из основных формул также следует
соотношение Коши – Римана:
На этом основано применение теории функций комплексного переменного к расчету плоских потенциальных потоков несжимаемой жидкости:
Функция F(z) – комплексный потенциал потока, z – комплексная переменная.

Слайд 9

Примеры простейших потенциальных потоков
Источник жидкости:
комплексный потенциал
Для удобства применим полярные координаты

для комплексной переменной:
Тогда линии тока - лучи,
выходящими из начала координат.
Линии равного потенциала
концентрические окружности.
Расход жидкости: Q = 2 π r wr
wr - радиальная скорость жидкости.

Слайд 10

Комплексный потенциал вихря
Линии тока – окружности,
Линии равного потенциала - лучи.
Окружная скорость

жидкости
Величина Г – циркуляция скорости,
характеризует интенсивность вихря,
а знак Г – направление вращения
(положительный – против часовой стрелки)

Слайд 11

Комплексный потенциал диполя
, где q – момент диполя.
Для удобства используем декартову

СК:
Приняв ψ = const, получим семейство
окружностей в центрами на оси ординат.
Линии равного потенциала – семейство
окружностей в центрами на оси абсцисс.
Диполь можно получить в результате слияния источника и стока:
, в пределе h→0 получим диполь, где q=Qh

Слайд 12

Потенциал обтекания окружности:
Состоит из: плоскопараллельного потока
диполя q = , вихря
В полярной

СК функции запишутся
При Г = 0 проекции скорости потока получим:

Слайд 13

Обтекание плоским потоком произвольного тела
Выделим на контрольной поверхности S элементарную площадку

ds*l и проведем к ней внешнюю нормаль п, которая образует с осями координат углы α и β.
Если проекцию скорости частиц, протекающих через площадку ds·l, на нормаль п
обозначить через Vn, то очевидно, что масса жидкости, протекающей в единицу времени сквозь эту площадку, будет равна ρVnds·l. Количество движения рассматриваемой массы жидкости, переносимое в единицу времени сквозь всю контрольную поверхность, выразится интегралом:

Слайд 14

Когда скорость невозмущенного потока направлена по оси ОХ и равна V∞,

потенциал скорости можно записать в виде ϕ = V∞ x+ ϕ'(x, у),
где φ'(x, у) - потенциал добавочных возмущенных скоростей, удовлетворяющих уравнению Лапласа.
Для проекций скорости Vx, Vy получим соотношения:
Функции φ'(x, у) па бесконечности удовлетворяют
условиям:
Выражение для скорости Vn принимает вид:
Полагая, что контур S настолько велик, что в силу граничных условий величинами (дϕ'/дх)г и (дϕ'/ду)2 можно пренебречь, определим произведения VnVХ и VnVv

Слайд 15

Для определения силы лобового сопротивления тела X и подъемной силы У

необходимо знать давление и скорость в каждой точке контрольной поверхности. Подставив в интегралы значение давления, определенное по формуле Бернулли, получим:
Интеграл
представляет собой расход
жидкости сквозь замкнутый контур, для твердого тела он равен нулю.
Из геометрии , получили Х= 0 – парадокс Даламбера–Эйлера.
Проекция скорости на контур:
- циркуляция скорости по контуру S.

Слайд 16

Теорема Жуковского (1905г.)
Если поток, имеющий в бесконечности скорость V∞, обтекает контур,

и цирку-ляция скорости по этому контуру равна Г, то равнодействующую сил давления жидкости на контур получим, если умножим вектор, представляющий скорость потока в бесконечности, на циркуляцию скорости и на плотность жидкости.
Если знаки V∞ и Г различны, то сила будет положительна и направлена вверх, при одинаковых знаках V∞ и Г подъемная сила направлена вниз.
Циркуляция Г может создаваться не реальным, а фиктивным вихрем, Жуковский назвал его «присоединенным». Циркуляцию можно увеличить различными способами, например, увеличением кривизны крыла, воздействием на пограничный слой, приведением в движение части поверхности крыла и т.д.

Потенциальные течения

Содержание

Интеграл по замкнутому криволинейному контуру можно записать в декартовых координатах и

Уравнение ЭйлераДля плоского установившегося движения идеальной жидкости:Введя обозначениемодуля скорости: w2 =

Уравнение БернуллиПроинтегрировав уравнение при ρ = const, получим уравнение для несжимаемой

Рассмотрим плоское установившееся безвихревое движениеДля безвихревого движения можно ввести потенциал скорости

Линия в жидкости, касательная к которой в любой ее точке параллельна

Рассмотрим сетку, образованную семейством линий тока ψ = const и линий

Жидкость не может пересекать границу твердого тела, а значитпроекция скорости на

Примеры простейших потенциальных потоковИсточник жидкости: комплексный потенциалДля удобства применим полярные координаты

Комплексный потенциал вихряЛинии тока – окружности,Линии равного потенциала - лучи.Окружная скорость

Комплексный потенциал диполя, где q – момент диполя.Для удобства используем декартову

Потенциал обтекания окружности:Состоит из: плоскопараллельного потокадиполя q = , вихряВ полярной

Обтекание плоским потоком произвольного телаВыделим на контрольной поверхности S элементарную площадку