Сұйықтық қозғалысы мен динамиканың негізгі теңдеуі

сәйкес, бірақ қарама-қарсы бағытталған:
(1.1)
Минус таңбасы ауырлық күшінің бағытын көрсетеді.
Z осі бойынша қысым күшінің мәні параллелепипедтің төменгі және жоғарғы бөліктеріне әсер ететін күштердің қосындысынан құралады.
Параллелепипедтің төменгі қырына әсер ететін гидростатикалық қысым күшінің z осіне проекциясы:
(1.2)
Z осіне гидростатикалық қысым күшінің проекциясы тең:
(1.3)
Тең әсерлі қысым күшінің z осіне проекциясы:
(1.4)
болып өрнектеледі.
Z осі бойынша элементарлы параллелепипедке әсер ететін ортақ күш (1.1) және (1.4) өрнектерінің қосындысына тең болады:
(1.5)
X және Y осьтеріне әсер ететін күштер өрнектеледі:
(1.6)
(1.7)

сәйкес бағыты бойынша үдеуге көбейтіндісіне тең:
(1.8)
(1.9)
(1.10)
Өрнектерді dxdydz-ке қысқартсақ:
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Бұл теңдеулердегі wx, wy, wz координата мен уақыттың функциясы болып табылады, мысалы:
Толық дифференциал тең:
(1.14)
Орныққан қозғалыс үшін:
олай болса, кеңістіктің белгілі бір нүктесінде жылдамдық тұрақты болады:
(1.15)
Алайда, сұйықтықтың элементарлы көлемінде жылдамдық тұрақты болмайды. Жылдамдықтың өзгерісін соңғы теңдеуді dτ бөліп аламыз:
(1.16)

жүйесі идеалды сұйықтықтардың орныққан қозғалысы үшін Эйлердің дифференциалды теңдеулері деп аталады.
Бернулли теңдеуі
Эйлер теңдеуін интегралдау арқылы гидродинамиканың негізгі теңдеуі Бернулли теңдеуі алынады.
Қозғалыстағы идеалды сұйықтықтың барлық қарастырылып отырған көлеміне әсер ететін күшті табу үшін Эйлер теңдеулерінің (1.11, 1.12, 1.13) оң және сол жақтарын көлемнің қырларының ұзындығына ( dx, dy, dz) көбейтіп, тығыздыққа бөлеміз:
(1.21)
(1.22)
(1.23)

былай өрнектеуге болады
(1.25)
Алынған өрнекті қосамыз:
(1.26)
Теңдеудің (1.24) сол жағындағы жақшадағы қосынды гидростатикалық қысымның толық дифференциалын білдіреді. Олай болса, (1.24) теңдеу былай жазылады:
(1.27)
Теңдеудің екі жағын да еркін түсу үдеуіне (g) бөліп, барлық мүшелерін теңдіктің бір жағына шығарып жазатын болсақ:
(1.28)
Идеалды сұйықтықтардың орныққан қозғалысы үшін p = const, сондықтан дифференциалдар қосындысын қосындының дифференциалы ретінде қарастыруға болады:
(1.29)

өлшем бірліктері – метр.
(1.31)
(1.32)
Сонымен идеалды сұйықтықтардың орныққан қозғалысында ағынның кез келген нүктесінде потенциалдық және кинетикалық энергиялардың қосындысы тұрақты шама. Бернулли теңдеуі энергияның сақталу заңы негізінде ағынның жылулық балансын сипаттайды.
Бернулли теңдеуін қолданып құбыр бойымен белгілі бір жылдамдықпен сұйықтықтың ағуы үшін қажетті қысымды, сұйықтықтың қозғалыс жылдамдығын, мөлшерін, саңылаудан сұйықтықтың ағып өту уақытын анықтауға болады .
Навье-Стокс заңы
Реалды немесе тұтқыр сұйықтықтардың қозғалысын қарастырғанда сұйықтық ағысына гидростатикалық қысым мен ауырлық күшінен басқа үйкеліс күшінің де әсерін ескеру қажет.