Теория радиосистем передачи информации. (Лекция 2)

времени
вероятность появления в момент времени j+k символа при условии, что предыдущими символами были

зависит от начала отсчета времени j.

 

функции дискретных переменных, по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью.
Для точного представления произвольной непрерывной функции x(t)
на конечном интервале времени Т необходимо располагать данными о мгновенных значениях этой функции во всех точках интервала.

Приближённое представление о функции x(t) можно составить по её отображению в виде дискретной последовательности импульсов, имеющих на интервалах Δt значения x(iΔt), называемых отсчётами

на последовательность импульсов дискретизации fд (t).
В спектральной области произведение функций времени соответствует свертке их спектров.
Спектр периодической последовательности импульсов дискретизации является линейчатым. Частота дискретизации определяется интервалом дискретизации FД=1/Δt.

обосновывает возможность дискретизации по аргументу (времени) любых функций с ограниченным спектром. На ней основаны все методы импульсной модуляции.
Пусть для некоторых сигналов x(t) с ограниченным спектром все отсчёты в точках kΔt, лежащих за пределами некоторого интервала времени длительностью Т, равны нулю. Тогда ряд вырождается в конечную сумму, число членов которой n равно числу отсчётных точек, умещающихся на интервале Т:
n ≈ Т /Δt = 2FвT,
В теории связи ее называют базой сигнала.
Иногда полученный результат формулируют следующим образом: сигнал длительностью Т, спектр которого не содержит частот выше Fв полностью определяется заданием 2FвT его отсчётов.
Однако спектр ограниченного во времени сигнала не может быть конечным, так что таких сигналов в природе не существует. Поэтому сигнал, представленный конечным числом членов ряда Котельникова, существует и за пределами интервала времени Т, внутри которого находятся все ненулевые отсчёты.

с конечными сигналами, энергия которых почти полностью сосредоточена внутри полосы частот |f| ≤ Fв, для таких сигналов нередко используют конечное число 2FвT членов ряда Котельникова. Но в данном случае это представление является приближенным, и сумма такого конечного ряда отличается от функции x(t) некоторой погрешностью.

Восстановление непрерывной функции по ее отсчётам

Непрерывный сигнал восстанавливается, если на вход идеального фильтра нижних частот с полосой пропускания 0... Fв подать последовательность дельта-функций δ(t—iTд), i=.., —1, 0, 1,..., умноженных на коэффициенты х(iТД).
На практике вместо дельта-функций используют короткие импульсы, а вместо идеального фильтра нижних частот — реальный фильтр нижних частот, что, естественно, приводит к погрешности восстановления.

значения непрерывного сигнала в некоторых точках опроса, неравноотстоящих друг от друга. На интервалах, где функция меняется в больших пределах, отсчеты берутся чаще, а на интервалах медленного изменения - реже. Для представления сообщения стараются использовать как можно меньшее число отсчетов, но достаточное для восстановления сообщения с заданной погрешностью.

заданной точностью, называются обычно существенными. Различные способы адаптивной дискретизации отличаются алгоритмами формирования существенных отсчетов и видом служебной информации.
Простейший алгоритм формирования существенных отсчетов. Пусть последний существенный отсчет был в момент ti. Для формирования следующей выборки сравнивают текущее значение функции x(t) с х(ti). Момент ti+j, при котором
|x(ti+j) - x(ti)| = εm, соответствует очередной существенной выборке.

непрерывного сообщения по отсчетам приемная сторона должна знать, к каким тактовым моментам относятся принятые отсчеты. В связи с этим на приемную сторону приходится передавать дополнительную служебную информацию. Такой информацией могут быть значения тактовых моментов, соответствующих существенным выборкам.
Адаптивные способы дискретизации широко применяют при отсутствии априорной информации о корреляционной функции или спектральной плотности мощности непрерывных сообщений.

Дискретизация непрерывных сообщений

воспроизведении информации, заключенной в сигнале, искаженном помехами, т.е. по заранее известным характеристикам передаваемого сигнала, канала связи и помех, зная их функциональное взаимодействие необходимо получить оптимальное приемное устройство, наилучшим образом воспроизводящее переданное сообщение.

Оптимальным называют приемник, для которого вызванные помехами искажения сообщения минимальны.

При приеме решают две задачи: задачу обнаружения сигнала и задачу различения сигналов на фоне помех.

При решении конкретных задач оптимального приёма используют следующие модели радиосигналов:
1. Сигнал с полностью известными параметрами

где индекс 0 означает, что эти параметры известны.

2. Сигнал со случайной начальной фазой

где ϕ – начальная фаза – случайная величина, равномерно распределенная
на интервале.

начальной фазой

здесь величины A и ϕ статистически независимы. Причем величина A
распределена по закону Рэлея, а начальная фаза равномерно распределена
на интервале (-π, π) .

 

Вероятностные характеристики обнаружения сигнала

В результате процесса обнаружения должно быть принято решение о наличии или отсутствии сигнала.
Пусть A1 – есть сигнал, A2 – нет сигнала.
В результате действия помех каждому из условий может быть два решения при приеме смеси сигнал + шум:
- – есть сигнал,
- – нет сигнала.

и решение принято, что сигнал есть.
Условная вероятность пропуска сигнала

Сигнал передавался, а решение при приёме принято, что сигнала нет.

соответствуют одному и тому же условию наличия сигнала и
являются взаимоисключающими, поэтому

Условная вероятность ложной тревоги

Сигнал не передавался, а решение принято, что сигнал есть.

и решение принято, что сигнала нет.

Здесь также справедливо равенство

основными характеристиками обнаружения являются вероятность правильного обнаружения Д и вероятность ложной тревоги (ЛТ) F.

Критерии оптимального обнаружения и различения сигналов

Качество приёма оценивается вероятностью правильного приёма символов двоичного сигнала.

Максимум этой вероятности называется потенциальной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум, называется идеальным приёмником.
При решении вопроса обнаружения и различения сигналов необходимо:
– определить критерии оптимального приёма;
– определить алгоритм преобразования смеси сигнал + шум и по этому алгоритму определить структуру приёмника.

отношение правдоподобия

– плотность вероятности реализации символа аi

– плотность вероятности реализации символа aj

Для двоичных символов отношение правдоподобия выглядит

сигнал + шум «1» или «0»,
сводится к сравнению x(t) с порогом x0 . При этом возникают ошибки.
Вероятность ошибки ложной тревоги F

Вероятность пропуска сигнала

в системах цифро-
вой передачи информации. Здесь вероятности символов «1» и «0» равны,
опасность ошибок F и одинакова.

Критерий Байеса

Второе название: критерий минимума среднего риска. Риск ложной тревоги определяется выражением

Р(0) – вероятность передачи символа «0»

– безразмерный коэффициент, имеющий величину значимости ложной тревоги (цена ложной тревоги).

вероятность передачи символа «1»;
– значимость пропуска сигнала (цена пропуска сигнала).
Средневзвешенный суммарный риск

Из всех систем обнаружения наилучшей следует считать ту, которая обеспечивает наименьший средний риск.

кривой вероятности W(x/0) в отсутствии
сигнала определяется x0

При полученном x0 определяется Д ‒ вероятность правильного обнаружения при заданном уровне сигнала.

Нормы на параметры обнаружения:

Всегда стремятся уменьшить F и увеличить Д. Однако уменьшение F изменением порога х0 уменьшает и Д. Причём Д уменьшается более интенсивно. Чтобы обнаружение осуществлялось с заданными параметрами Д и F , необходимо стабилизировать пороговый уровень x0 при одном шуме в отсутствие сигнала. В приёмном устройстве применяется автоматический регулятор порогового уровня в зависимости от уровня шума.

приём сигналов с определённой фазой.

Пусть на интервале от 0 до T наблюдается смесь x(t) сигнала и шума. Сигнал представляет детерминированную функцию времени и известных параметров. Помеха n(t) представляет гауссовский белый шум.
Принятие решения о наличии сигнала в смеси сигнал + шум производится при анализе отношения правдоподобия

Если смесь сигнал + шум определены по времени, то имеется возможность накопления сигнала за период T

z(T) – корреляционный интеграл

Значение корреляционного интеграла сравнивается с пороговым
уровнем zn :
если z(T )> zn – сигнал в смеси есть,
если z(T )< zn – сигнала в смеси нет.

значения корреляционного интеграла в момент ожидаемого окончания действия сигнала S(t) с порогом zn и принимается решение о наличии или отсутствии сигнала. Начало интегрирования и его окончание совпадают по времени с началом и окончанием ожидаемого сигнала S(t) , что
обеспечивается устройством синхронизации (УС).

При корреляционном приёме необходима чёткая временная привязка работы устройств передачи и приёма, т.е. временное положение входного сигнала и его копии должно быть одинаковым. Только в этом случае возможно осуществить умножение S(t) x(t) и получить эффект от интегрирования. Это возможно в радиосистемах передачи информации, где осуществляется тактовая синхронизация.

согласованного (оптимального) фильтра должна быть зеркальным отображением сигнала.