Волновая функция, свойства волновой функции. Уравнение Шредингера. (Лекция 4)

теория, чем классическая механика. Однако, при выполнении условий, когда волновыми свойствами частицы можно пренебречь, выводы квантовой механики должны совпадать с результатами классической механики. Принцип соответствия: любая более общая физическая теория не должна исключать предыдущую, а должна включать ее как предельный частный случай.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ.

В основе квантовой механики лежит ряд постулатов.

Первый постулат: Состояние частицы в квантовой механике описывается заданием волновой функции, являющейся функцией пространственных координат и времени.

Второй постулат: Волновая функция имеет вероятностный смысл.

Волновая функция содержит полную информацию о движении микрочастицы.

М.Борн так сформулировал вероятностный смысл волновой функции в квантовой механике:

Почему физический смысл имеет квадрат пси-функции, а не сама функция?

Волновая функция в общем случае является комплексной функцией, то есть содержит действительную и мнимую части. Вероятность не может принимать мнимые значения. 

в пространстве с объемом V.

Волновая функция обладает рядом свойств и удовлетворяет ограничительным условиям:

СМЫСЛ И СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ.

1. Функция должна быть конечной. Функция характеризует вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, следовательно, ее значение не должно быть больше единицы.

Условие нормировки:

не может быть неоднозначной.

3. Функция должна быть непрерывной. Вероятность не может изменяться скачком.

СМЫСЛ И СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ.

Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица.

Таким образом, из смысла пси–функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер.

С помощью пси–функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства.

используется понятие траектории.

Основа классической механики - уравнения Ньютона + теория Эйнштейна.

Основу квантовой механики - уравнение, описывающее двойственную природу микрочастиц.

Состояние микрочастицы в квантовой механике задается волновой функцией (амплитудой вероятности), которая является функцией координат и времени.

Следовательно, основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции.

должно учитывать волновые свойства частиц, оно должно быть волновым уравнением.

Шредингер - впервые предложил такое уравнение (1926г.)

Релятивистский вариант уравнения был дан Дираком.

Правильность уравнения показывается многочисленными опытами, что придает ему характер закона природы.

Уравнение Шредингера, как и многие основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике, уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется.

один из создателей квантовой механики, иностранный член-корреспондент (1928) и иностранный почетный член (1934) АН СССР. Разработал (1926) волновую механику, сформулировал ее основное уравнение (уравнение Шредингера). Труды по кристаллографии, математической физике, теории относительности, биофизике. Нобелевская премия (1933, совместно с П.Дираком).

Эрвин ШРЕДИНГЕР (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger)

или нестационарное уравнение Шредингера) имеет вид:

Решением уравнения Шредингера является пси-функция.

Более простой случай - движение частиц в стационарном силовом поле. Это стационарные состояния или состояния с фиксированными значениями энергии.

Но: определить вид этой функции в каждой конкретной задаче – основная и трудная задача.

Вид пси-функции зависит от функции U(x, y, z, t).

Самостоятельно: сравнить с волновым уравнением электромагнитной волны.

встречаются в приложениях квантовой механики.

Решение стационарного уравнения находят в виде двух сомножителей, один из которых зависит только от координат, а другой только от времени:

E – полная энергия частицы, которая для стационарного поля остается постоянной.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний:

0

состояний содержит в качестве параметра полную энергию E частицы.

Из анализа: решения уравнения Шредингера имеют физический смысл не при любых значениях параметра E, а только при определенном их наборе, характерном для конкретной задачи.

Из теории дифференциальных уравнений: подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений. Решения, имеющие физический смысл, определяются наложением граничных условий.

Эти значения энергии называются собственными.

Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями.

Совокупность собственных значений величины называется ее спектром.

о непрерывном или сплошном спектре, во втором – о дискретном спектре.

Собственные значения полной энергии E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд.

Таким образом, квантование энергии получается из основных положений квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений.

В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

E1, E2, …, En, …,

движущаяся в отсутствие внешних полей.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ

Рассмотрим одномерный случай. Пусть частица движется вдоль оси x.

Тогда полная энергия совпадает с ее кинетической энергией.

Вид уравнения Шредингера:

0

второго порядка.

Уравнение известно из теории гармонических колебаний.

Решение: