Вращение твердого тела. Лекция № 11

Август 20, 2022

Главная
Физика
Вращение твердого тела. Лекция № 11

Содержание

2. Волчок над магнитным столиком
3. Волчок над магнитным столиком
4. План лекции Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого
5. Демонстрации Скатывание тел Диск Максвелла Свободное вращение Непослушная катушка Цирковая тарелка Китайский волчок Гироскоп, бегающий по
6. Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение. Абсолютно твёрдое тело – это тело, деформациями которого в условиях
7. Вращательное движение твёрдого тела При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат
8. Плоское движение твёрдого тела Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного и вращательного движений. При
9. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Lz = Σrimivi = ωΣmiri2 = Izω, ri – расстояние
10. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил Кинетическая энергия вращающегося тела K = Σmivi2/2 =
11. Свойства момента инерции Момент инерции – скалярная аддитивная величина. Теорема Гюйгенса – Штейнера: момент инерции I
12. Теорема о взаимно перпендикулярных осях Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости,
13. Моменты инерции различных тел Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I = mr2 Диск: I
14. Плоское движение твёрдого тела Плоское движение есть суперпозиция поступательного движения центра масс и вращательного движения в
15. Скатывание с наклонной плоскости. Уравнение движения С каким ускорением скатывается цилиндр (круглое тело) с наклонной плоскости.
16. Скатывание с наклонной плоскости. Закон сохранения энергии ½ IAω2 = mgxsinα ⇨ ½ IA(ωr)2 = mgr2xsinα
17. Диск Максвелла R = 10 см; r = 0,5 см. С каким ускорением опускается диск. Решение:
18. Свободные оси. Главные оси Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё
19. Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков. Главными называются моменты инерции относительно главных осей. Шаровой волчок:
20. Гироскоп Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии. Гироскопическое приближение: скорость прецессии Ω Уравновешенный
21. Применение гироскопов В морской и авиа навигации: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп в кардановом подвесе сохраняет своё
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Волчок над магнитным столиком

Слайд 3

Волчок над магнитным столиком

Слайд 4

План лекции
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
Кинетическая

энергия вращающегося твёрдого тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении. Работа момента сил.
Применение законов динамики твёрдого тела: скатывание тел с наклонной плоскости, диск Максвелла.
Гироскопы

Слайд 5

Демонстрации
Скатывание тел
Диск Максвелла
Свободное вращение
Непослушная катушка
Цирковая тарелка
Китайский волчок
Гироскоп, бегающий по контуру
Гироскоп в

шаре
Вынужденная прецессия колеса
Двойной гироскоп

Слайд 6

Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение.
Абсолютно твёрдое тело – это тело,

деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь
Поступательное движение – это такое движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе.
Все точки тела при этом имеют одинаковую скорость и описывают одинаковые траектории, смещённые по отношению друг к другу.
Примеры поступательного движения:
стрелка компаса: при перемещении компаса в горизонтальной плоскости стрелка остаётся параллельной самой себе;
кабина колеса обозрения

Слайд 7

Вращательное движение твёрдого тела
При вращательном движении все точки тела движутся по

окружностям, центры которых лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела).
Угловые скорости всех точек ω одинаковы. ω направлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика.
Линейные скорости точек: v = ω х r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.

Слайд 8

Плоское движение твёрдого тела
Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного

и вращательного движений.
При плоском движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях.
Пример плоского движения – качение цилиндра. Скорость каждой точки цилиндра: v = v0 + ωxr (v0 – скорость оси)

Слайд 9

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси
Lz = Σrimivi = ωΣmiri2 =

Izω, ri – расстояние до оси ращения
Iz = Σmiri2 = Σmi (xi2 + yi2) = ∫r2dm – момент инерции твёрдого тела относительно оси z.
Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси Izdω/dt = Mz (Mz – z-проекция момента внешних сил)

Слайд 10

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил
Кинетическая энергия вращающегося тела K

= Σmivi2/2 = ½Σmi(ωri)2 = Izω2/2 = Lz2/2I = ½ Lz ω
В общем случае K = ½ (Lω)
Работа момента силы при повороте: dA = (Fds) = Frdφ = Mzdφ

Слайд 11

Свойства момента инерции
Момент инерции – скалярная аддитивная величина.
Теорема Гюйгенса – Штейнера:

момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния a до центра масс: I = Ic + ma2
Доказательство: по теореме Кёнига для кинетической энергии: K = Iω2/2 = mvc2/2 + Icω2/2 = m(ωa)2/2 + Icω2/2 = ½ (ma2 + Ic)ω2 ⇨ I = Ic + ma2

Слайд 12

Теорема о взаимно перпендикулярных осях
Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси

z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z: Iz = Ix + Iy
Доказательство: Ix = Σmi(yi2 + zi2) = Σmiyi2 Iy = Σmi(xi2 + zi2) = Σmixi2 ⇨ Iz = Σmi(yi2 + xi2) = Ix + Iy

Слайд 13

Моменты инерции различных тел
Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I

= mr2
Диск: I = ½ mr2
Тонкий длинный стержень: I = 1/12 mL2 – относительно середины; I = 1/3 mL2 - относительно конца
Плоский прямоугольник: I = 1/12 m(a2 + b2)
Сфера: I = 2/3 mr2
Однородный шар: I = 2/5 mr2
Толстостенный цилиндр (относительно оси цилиндра): I = ½ m(r2 + R2)

Слайд 14

Плоское движение твёрдого тела
Плоское движение есть суперпозиция поступательного движения центра масс

и вращательного движения в системе центра масс.
Движение центра масс определяется внешними силами по закону Ньютона.
Вращательное движение определяется моментом внешних сил

Слайд 15

Скатывание с наклонной плоскости. Уравнение движения
С каким ускорением скатывается цилиндр (круглое

тело) с наклонной плоскости.
Решение: уравнение моментов относительно мгновенной оси: IAdω/dt = MA ⇨ IAa = MAr ⇨ a = mgr2sinα/IA = gsinα/(1 + Ic/mr2)
Труба: a = ½gsinα
Сплошной цилиндр: a = 2/3 gsinα
Полый шар: a = 3/5 gsinα
Однородный шар: a = 5/7 gsinα

Слайд 16

Скатывание с наклонной плоскости. Закон сохранения энергии
½ IAω2 = mgxsinα ⇨

½ IA(ωr)2 = mgr2xsinα ⇨ v2 = 2mgr2xsinα/IA ⇨ 2va = 2mgr2vsinα/IA ⇨ a = mgr2sinα/(Ic + mr2) = gsinα/(1 + Ic/mr2)

Слайд 17

Диск Максвелла
R = 10 см; r = 0,5 см. С каким

ускорением опускается диск.
Решение: IAdω/dt = MA ⇨
IAd(ωr)/dt = MAr ⇨
IAdv0/dt =MAr ⇨ a = mgr2/IA = g/(1 + R2/2r2) ≈ g/200 ≈ 5 см/с2

Слайд 18

Свободные оси. Главные оси
Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным

без действия на неё внешних сил, называется свободной осью.
Главные оси - три свободных взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс.
При вращении вокруг главной оси L1 = Iω1
Для произвольной оси: L = I1ω1 + I2ω2 + I3ω3
Все оси симметрии твёрдого тела являются главными осями инерции.

Слайд 19

Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков.
Главными называются моменты инерции относительно

главных осей.
Шаровой волчок: I1 = I2 = I3. Любая ось, проходящая через центр масс – свободная (шар, куб)
I1 = I2 ≠ I3 – симметричный волчок (диск, стержень) – при внешнем воздействии устойчиво вращается вокруг оси с наибольшим I
I1 ≠ I2 ≠ I3 - асимметричный волчок (параллелепипед) – устойчиво вращается вокруг осей с Imax и Imin
I = I1cos2α + I2cos2β + I3cos2γ - момент инерции относительно произвольной оси.

Слайд 20

Гироскоп
Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии.
Гироскопическое приближение:

скорость прецессии Ω << ω ⇨ L = I0ω.
Уравновешенный гироскоп (M = 0) сохраняет своё направление в пространстве.
Вынужденная прецессия: M ≠ 0 ⇨ dL = Mdt ⇨ Lsinθdφ = mga sinθ dt ⇨ скорость прецессии Ω = dφ/dt = mga/I0ω – не зависит от угла наклона оси гироскопа.

Слайд 21

Применение гироскопов
В морской и авиа навигации: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп

в кардановом подвесе сохраняет своё направление.
Стабилизация артиллеристского снаряда (в нарезном орудии) – вращающийся снаряд не кувыркается.

Вращение твердого тела. Лекция № 11

Содержание

Волчок над магнитным столиком

Волчок над магнитным столиком

План лекцииВращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера.Кинетическая

ДемонстрацииСкатывание телДиск МаксвеллаСвободное вращениеНепослушная катушкаЦирковая тарелкаКитайский волчокГироскоп, бегающий по контуруГироскоп в

Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение.Абсолютно твёрдое тело – это тело,

Вращательное движение твёрдого телаПри вращательном движении все точки тела движутся по

Плоское движение твёрдого телаЛюбое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной осиLz = Σrimivi = ωΣmiri2 =

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента силКинетическая энергия вращающегося тела K

Свойства момента инерцииМомент инерции – скалярная аддитивная величина.Теорема Гюйгенса – Штейнера:

Теорема о взаимно перпендикулярных осяхМомент инерции плоского тела относительно произвольной оси

Моменты инерции различных телТонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I

Плоское движение твёрдого телаПлоское движение есть суперпозиция поступательного движения центра масс

Скатывание с наклонной плоскости. Уравнение движенияС каким ускорением скатывается цилиндр (круглое

Скатывание с наклонной плоскости. Закон сохранения энергии½ IAω2 = mgxsinα ⇨

Диск МаксвеллаR = 10 см; r = 0,5 см. С каким

Свободные оси. Главные осиОсь вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным

Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков.Главными называются моменты инерции относительно

ГироскопГироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии. Гироскопическое приближение:

Применение гироскопов В морской и авиа навигации: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп

Похожие презентации

План лекции
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
Кинетическая

Демонстрации
Скатывание тел
Диск Максвелла
Свободное вращение
Непослушная катушка
Цирковая тарелка
Китайский волчок
Гироскоп, бегающий по контуру
Гироскоп в

Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение.
Абсолютно твёрдое тело – это тело,

Вращательное движение твёрдого тела
При вращательном движении все точки тела движутся по

Плоское движение твёрдого тела
Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси
Lz = Σrimivi = ωΣmiri2 =

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил
Кинетическая энергия вращающегося тела K

Свойства момента инерции
Момент инерции – скалярная аддитивная величина.
Теорема Гюйгенса – Штейнера:

Теорема о взаимно перпендикулярных осях
Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси

Моменты инерции различных тел
Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I

Плоское движение твёрдого тела
Плоское движение есть суперпозиция поступательного движения центра масс

Скатывание с наклонной плоскости. Уравнение движения
С каким ускорением скатывается цилиндр (круглое

Скатывание с наклонной плоскости. Закон сохранения энергии
½ IAω2 = mgxsinα ⇨

Диск Максвелла
R = 10 см; r = 0,5 см. С каким

Свободные оси. Главные оси
Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным

Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков.
Главными называются моменты инерции относительно

Гироскоп
Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии.
Гироскопическое приближение:

Применение гироскопов
В морской и авиа навигации: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп