Законы релятивистской механики. (Лекция 11)

‑ масса частицы.
Проекции импульса в системе К и К ′, движущейся относительно К вдоль оси х со скоростью υ0  равны:

Вывод: проекции импульса на оси y и z не зависят от скорости движения системы К ′.

в системе К :

в системе К′ :

В случае преобразований Галилея

и

Поэтому проекции:

по оси Ох

по оси Оу

по оси Оz

+8

масса частицы.

Проекции импульса на оси y′ и z′ зависят от скорости υ0 (не инварианты!!!):
Для закона сохранения импульса необходимо: 1) чтобы составляющие импульса по осям y и z не зависели от скорости υ0 ; 2) чтобы выражение для импульса преобразовывалось в соответствии с преобразованиями Лоренца.

Вспомним преобразования Лоренца для скоростей:

Применим преобразования Лоренца к определению импульса для системы К ′:

+5

dz′ не зависят от скорости υ0 движения системы К ′ относительно К.
Кроме того, вспомним, что собственное время τ, связанное с движущимся телом, не зависит от системы отсчета.
Тогда производные:
Поэтому проекции релятивистского импульса:
Вспомним также:
Тогда проекции импульса можно выразить только через координаты и время в одной и той же системе отсчета К:

и

+4

масса покоя, m ‑- релятивистская масса.

В векторном виде уравнения примут вид:

Вывод: в релятивистской динамике масса частицы m зависит от скорости движения:

При υ << c имеем m ≈ m0 , что и принято в классической механике.

+4

принципа относительности, сохраняет свою классическую формулировку в релятивистской динамике.
Выражение для второго закона Ньютона в релятивистской механике также сохраняет свою классическую формулировку при условии, что импульс определяется по формуле:
Это релятивистское уравнение инвариантно относительно преобразований Лоренца.
Третий закон Ньютона в релятивистской динамике справедлив только для контактных сил.
В классической механике для сил, действующих на расстоянии, предполагается мгновенная передача взаимодействия без материального посредника.
Это несовместимо с релятивистским положением о том, что максимальная скорость передачи взаимодействия не может быть больше скорости света в вакууме.
Поэтому из-за взаимодействий с конечной скоростью распространения третий закон Ньютона в своей классической формулировке неприменим.

Подробнее ниже

+4

инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково.
Второй закон динамики будет выполняться во всех инерциальных системах отсчета, в том числе и в системах движущихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме, если под импульсом понимать:
Иными словами, второй закон динамики является неизменным (инвариантным) относительно преобразований Лоренца.
Поэтому релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид:
Получим релятивистское выражение для энергии
Для этого выражение умножим скалярно на перемещение частицы

Тогда получим:

+5

Найдем выражение для энергии в релятивистской механике

работу δA, совершаемую над частицей за время dt.
Величина этой работы равна приращению кинетической энергии частицы dWк :

После преобразований формулы получим:

Преобразуем:

и помним:

+3

Подробный вывод формулы в электронном конспекте Бобрович и др .2009

закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее полной релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме.

Постоянная интегрирования = (–m0 c2), поскольку при υ = 0 кинетическая энергия равна нулю.
Подставив это выражение вместо постоянной, получим формулу для кинетической энергии:

Полная энергия свободной частицы:

Энергия покоя:

(*)

+7

так как

Закон Эйнштейна

механике представляет собой
разность между полной энергией и энергией покоя, т. е.

где Δm ‑ изменение массы частицы в результате движения

Полная энергия свободной частицы:

Энергия покоя:

+3

Таким образом

энергией и релятивистским импульсом воспользуемся выражением для релятивистской массы m:

Возведем в квадрат это выражение:

Домножим на c2 :

Полная энергия

Энергия покоя

Импульс

Энергия покоя является инвариантом

Или импульс через энергию:

+10

только в квадрате

инерциальных системах отсчета) разность :

Взаимосвязь между энергией и импульсом для релятивистских тел -2

Импульс через полную энергию:

Импульс через кинетическую энергию:

кинетическая энергия

Из

Энергия покоя фотона E0 = 0 и масса покоя фотона:

Для фотона
= c,
E = hν

Импульс:

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой скорость тела, его масса, импульс и полная энергия изменяются.

+7

Импульс:

из одной системы координат в другую, называется инвариантом.
Рассмотрим два события 1 и 2, которые в инерциальной системе отсчета К совершаются соответственно в точке А (x1 , y1 , z1) в момент времени t1 и в точке B (x2 , y2 , z2) в момент времени t2 .
В системе отсчета К ′ эти события происходят в точке А (x1 ′ , y1 ′ , z1 ′ ) в момент времени t1 ′ и в точке B (x2 ′ , y2 ′ , z2 ′ ) в момент времени t2 ′ .
С помощью формул преобразования Лоренца можно показать, что при переходе из одной инерциальной системы в другую выполняется равенство:

где:

– квадраты расстояний между точками А и В в системах К и К ′

– промежутки времени между событиями в системах К и К ′

Тогда интервал между двумя событиями:

Интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета

+7

точками пространства.
Как следует из
расстояние l12 не изменяется при переходе из одной инерциальной системы координат в другую при равенстве промежутков времени между событиями t12 ′ и t12 .
Однако в релятивистской физике эти промежутки времени равны только при υ = 0.
Таким образом, интервал
является релятивистским инвариантом.
Интервал в системе отсчета, связанной с равномерно движущимся телом равен:
, где t0 – время в собственной системе отсчета (собственное время).
Вывод: собственное время t0 инвариантно по отношению к любой инерциальной системе.

Релятивистскими инвариантами также являются скорость света в вакууме, энергия покоя m0 c2, соотношение между полной энергией и импульсом, масса покоя m0 .

+5

отношению к любой инерциальной системе.
скорость света в вакууме с,
масса покоя m0
энергия покоя Е0= m0 c2,
соотношение между полной энергией и импульсом:

+7