Содержание
- 2. 1. Момент импульса частицы. Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еще одна
- 3. L является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки O в направлении вектора
- 4. Так как точка O неподвижна, то вектор dr/dt = v, т. е. совпадает по направлению с
- 5. Относительно точки Производная по времени от момента импульса L частицы относительно некоторой точки O выбранной системы
- 6. Относительно оси Рассмотрим теперь понятия момента импульса и момента силы относительно оси. Выберем в некоторой инерциальной
- 7. Производная по времени от момента импульса частицы относительно оси z равна моменту силы относительно этой оси.
- 8. 2. Закон сохранения момента импульса Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как
- 9. Производная равна моменту всех сил, действующих на i-ю частицу. Приравняем эту производную сумме моментов внутренних и
- 10. Как и в случае одной частицы, приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента всех внешних
- 11. Моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем. Однако эти изменения всегда
- 12. В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса L, а его
- 13. 3. Собственный момент импульса Вычислим суммарный момент внешних сил. Как и момент каждой силы, суммарный момент
- 14. Если F = 0, то суммарный момент внешних сил не зависит от выбора точки, относительно которой
- 15. В С-системе суммарный момент сил инерции относительно центра инерции всегда равен нулю. В самом деле, сила
- 16. Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от выбора точки О, относительно которой
- 17. Пусть L - момент импульса системы частиц относительно точки O К-системы отсчета. Так как собственный момент
- 18. Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса относительно некоторой точки этой плоскости
- 20. Скачать презентацию
1. Момент импульса частицы.
Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии
1. Момент импульса частицы.
Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии
Возьмем одну частицу. Пусть r - радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, а p - ее импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно точки O называют вектор L, равный векторному произведению векторов r и p: L = [r,p].
L является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг
L является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг
Выведем уравнение, описывающее изменение во времени вектора L. Его называют уравнением моментов:
Так как точка O неподвижна, то вектор dr/dt = v, т.
Так как точка O неподвижна, то вектор dr/dt = v, т.
Используя второй закон Ньютона, получим dp/dt = F, где F - равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно, dL/dt = [r,F].
Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют моментом силы F относительно точки О. Обозначив ее буквой M, запишем M = [r,F].
Относительно точки
Производная по времени от момента импульса L частицы относительно некоторой
Относительно точки
Производная по времени от момента импульса L частицы относительно некоторой
Это уравнение называют уравнением моментов. Заметим, что если система отсчета является неинерциальной, то момент силы M включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же точки O.
Из уравнения моментов, в частности, следует, что если M = 0, то L = const. Другими словами, если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени.
Относительно оси
Рассмотрим теперь понятия момента импульса и момента силы относительно оси.
Относительно оси
Рассмотрим теперь понятия момента импульса и момента силы относительно оси.
Моментом импульса относительно оси z называют проекцию на эту ось вектора L, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Аналогично вводят и понятие момента силы относительно оси. Их обозначают соответственно Lz и Mz. Значения этих проекций не зависят от выбора точки О на оси z.
Производная по времени от момента импульса частицы относительно оси z равна
Производная по времени от момента импульса частицы относительно оси z равна
Другими словами, если момент силы относительно некоторой неподвижной оси z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным. При этом сам вектор L может и меняться.
2. Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие
2. Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие
Производная равна моменту всех сил, действующих на i-ю частицу. Приравняем эту
Производная равна моменту всех сил, действующих на i-ю частицу. Приравняем эту
Здесь первая сумма - это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки O, вторая сумма - суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки O.
По определению, внутренние силы - это силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю.
Как и в случае одной частицы, приращение момента импульса системы равно
Как и в случае одной частицы, приращение момента импульса системы равно
Для применения закона сохранения импульса в неинерциальной системах отсчета нужно учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под M в этих уравнениях следует понимать суммарный момент всех внешних сил взаимодействия и суммарный момент сил инерции относительно одной и той же точки О системы отсчета.
То есть: момент импульса системы может изменяться только под действием суммарного момента всех внешних сил.
Закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е, не меняется со временем. Причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета.
Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц
L = ΣLi(t) = const.
Моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со
Моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со
Закон сохранения момента импульса играет такую же важную роль, как и законы сохранения энергии и импульса. Уже сам по себе он позволяет сделать во многих случаях ряд существенных заключений о свойствах тех или иных процессов, совершенно не вникая в их детальное рассмотрение.
Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса L сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как известно, импульс p меняется со временем. Если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, суммарный момент внешних сил М = 0 в течение интересующего нас промежутка времени, то момент импульса системы относительно точки O сохраняется за это время. В незамкнутых системах такой точки, вообще говоря, может и не быть, что следует, прежде всего, выяснить для каждой конкретной задачи.
В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам
В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам
dLz/dt = Mz
Здесь Lz и Mz - момент импульса, и суммарный момент внешних сил относительно оси z.
Если Mz = 0, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется:
Lz = ΣLiz(t) = const.
При этом сам вектор L, определенный относительно произвольной точки O на этой оси, может меняться. Например, если система движется в однородном поле тяжести, то суммарный момент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точки О перпендикулярен вертикали, а значит, относительно любой вертикальной оси Mz = 0 и Lz = const, чего нельзя сказать о векторе L.
3. Собственный момент импульса
Вычислим суммарный момент внешних сил. Как и
3. Собственный момент импульса
Вычислим суммарный момент внешних сил. Как и
Радиус-векторы ri и r'i точки приложения силы F связаны соотношением ri = r'i + r0. Поэтому выражение для M можно записать в таком виде:
или где F = ΣFi - результирующая всех внешних сил.
Если F = 0, то суммарный момент внешних сил не зависит
Если F = 0, то суммарный момент внешних сил не зависит
В С-системе - системе отсчета, жестко связанной с центром масс системы частиц и перемещающаяся поступательно по отношению к инерциальным системам. Так как в общем случае С-система является неинерциальной, то результирующая всех внешних сил должна включать в себя кроме внешних сил взаимодействия Fвз и силы инерции Fинер. С другой стороны, в С-системе система частиц как целое покоится, а это значит, что F = Fвз + Fинер = 0.
Т.е.: в С-системе суммарный момент всех внешних сил, включая силы инерции, не зависит от выбора точки О.
В С-системе суммарный момент сил инерции относительно центра инерции всегда равен
В С-системе суммарный момент сил инерции относительно центра инерции всегда равен
В самом деле, сила инерции, действующая на каждую частицу системы, Fi = -mia0, где a0 - ускорение С-системы. Поэтому суммарный момент всех этих сил относительно центра инерции С
Исходя из определения радиус-вектора центра масс Σmiri = mrc, а так как в нашем случае rc = 0, то и
Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от
Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от
или
где L' - момент импульса системы относительно точки О', а p = Σpi - полный импульс системы.
Если полный импульс системы p = 0, то ее момент импульса не зависит от выбора точки O. А этим как раз и отличается С-система, в которой система частиц как целое покоится. Отсюда можно сделать третий важный вывод: в С-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Этот момент будем называть собственным моментом импульса системы и обозначать Lc.
Пусть L - момент импульса системы частиц относительно точки O К-системы
Пусть L - момент импульса системы частиц относительно точки O К-системы
Первая сумма в правой части этого равенства - собственный момент импульса Lc. Вторую сумму представим как M[rcvc], или [rcpc], где M - масса всей системы, rc - радиус-вектор ее центра масс в К-системе, pc - суммарный импульс системы. В результате получим
т. е. момент импульса L системы частиц складывается из ее собственного момента импульса Lc и момента [rcpc], обусловленного движением системы частиц как целого.
Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса
Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса
Если центр инерции системы покоится (импульс системы p = 0), то ее момент импульса L - это собственный момент импульса.
Когда Lc = 0, момент импульса системы относительно некоторой точки определяется только моментом, связанным с движением системы как целого. Так, например, ведет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего поступательное движение.