Презентация по геометрии Медианы треугольника Свойства медиан

вершину с серединой противолежащей стороны
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины
Медиана треугольника делит его на два равноовеликих треугольника
Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников*

*Сформулируйте последнее утверждение, разделив его на условие и заключение

всех шести треугольников?

точки медианы

Точка G внутри Δ АВС принадлежит медиане AD
тогда и только тогда, когда SABG=SACG

Доказать:
BD = DC

Доказательство:

Дополнительное построение, BH AD и CK AD.
Рассмотрим прямоугольные Δ BHD и ΔСKD.
В них:
НBD = DCK как накрест лежащие при BH ║CK (BH AD и CK AD) и секущей BC.
ВH=CK как высоты, проведенные к общей стороне AG в треугольниках ΔBAG и ΔCAG, имеющих равную площадь.
Треугольники равны по катету и острому углу. Следовательно BD=DC.
Теорема доказана?
Нет. Докажем обратное утверждение.

DC

Доказательство:

Дополнительное построение, BH BD и CK AD.
Рассмотрим прямоугольные Δ BHD и ΔСKD.
В них:
НBD = DCK как накрест лежащие при BH CD (BH BD и CK AD) и секущей BC.
BD=DC по условию.
Треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
Следовательно, BH = CK.
SABG = ½ AG * BH
SACG = ½ AG * CK
SABG = SACG
Теорема доказана.

SABG = SACG

Точка G внутри Δ АВС принадлежит медиане AD, тогда и только тогда, когда SABG=SACG

задаче, которую мы не смогли решить.

образуется три равновеликих треугольника, то чевианы являются медианами.

точкой пересечения медиан тогда и только тогда, когда SABG=SCBG=SAGC
Докажите это.

Критерий точки медианы

Критерий
точки пересечения медиан