Элементы симметрии кристаллических структур

переносом вдоль осей x, y и z обозначаются соответственно a, b и c. Плоскости с переносом на полдиагонали грани обозначаются n. В гранецентрированной решётке ещё возможна плоскость с переносом на четверть диагонали грани, а в объёмноцентрированной – с переносом на четверть объёмной диагонали. Они обознача-ются d от слова diamond – алмаз, где есть такие плоскости. На рис. справа – след координатной плоскости n в структуре рутила TiO2 показан красным.

На рис. слева красным показана одна из координатных плоскостей d в структуре алмаза.
Плоскости скользящего отражения также выявляются по систематическом отсутствию рентгеновских отражений частных типов с нечётными (или не кратными 4) индексами или суммами индексов. Например, отражения hk0, h0l, 0kl у алмаза возможны, только если сумма двух индексов кратна 4 (и оба при этом чётные): 220, 202, 400…, но не 200, 420.

h0l, а диагональная плоскость c – чётного l в отражениях hhl, включая h=0.

только спереди добавлен символ решётки Бравэ, плоскости могут быть не только зеркальными, но и скользящими, а оси – не только поворотными, инверсионными, но и винтовыми. Параллельно используются и символы Шёнфлиса. А какие лучше? Для точечных групп молекул лучше символы Шёнфлиса – они допускают оси любых порядков и однозначны. Например, международные символы точечной группы mm2, m2m, 2mm обозначаются одним и тем же шёнфлисовским символом C2v. Но по той же причине они неудобны для кристаллов. Если известны три параметра ромбической решётки и группа C2v, то остаётся неизвестным, какая из трёх осей полярна. А по символу mm2 это сразу видно. Разные пространственные группы, имеющие одну и ту же точечную, по Шёнфлису различаются верхним индексом, и без справочника неясно, какие там элементы симметрии.

230 пространственных групп симметрии выведены независимо в 1891 г.
Е.С. Фёдоровым (1853-1919) и А.М. Шёнфлисом (1853-1928). Они объединяют все элементы симметрии кристалла. Это группы симметрии кристаллических структур. Их международные символы (символы Германна-Могена) построены

различаются верхним индексом, и без справочника неясно, какие там элементы симметрии. А по международному символу это сразу видно: C2v1 = Pmm2 = Pm2m = P2mm,
x y z y x z x z y y z x z x y z y x
C2v14 = Amm2 =
Как видим, в ромбической сингонии возможно шесть вариантов ориентации трёх неэквивалентных единичных направлений и, соответственно, до шести вариантов символа одной и той же группы симметрии в разных установках, а по Шёнфлису они неразличимы. В каждом случае один из вариантов считается стандартным, но широко применяются и другие, поэтому нужно уметь переходить от одной установки к другой, чтобы видеть, где реально разные случаи, а где разные варианты описания одной и той же структуры. Подобные неоднозначности возможны и в других сингониях. Стандартом в этой области служат многотомные International Tables for Crystallography, издание Международного союза кристаллографов (www.iucr.org), где каждой из 230 групп присвоен определённый номер, независимо от ориентации осей, как и в символе Шёнфлиса. Учимся преобразовывать символы пр. гр.
x y z y x z x z y y z x z x y z y x
C2v2 = Pmc21 =

Pcm21

= Pm21b

= Pb21m

= P21ma

= P21am

= C2mm

Bmm2

= Am2m

= Cm2m

= B2mm

точек, преобразуемых друг в друга операциями симметрии пространственной группы. В частности, это могут быть позиции центров атомов. Достаточно рассмотреть точки одной элементарной ячейки, а координаты всех остальных точек данной системы получаются путём прибавления целых чисел к координатам точек данной ячейки. Кратность пст – число точек в ячейке. Различают частные пст – находящиеся на элементах симметрии, ими не размножаемые и потому имеющие малую кратность, и общие положения xyz. В каждой пространственной группе пст обозначаются латинскими буквами по алфавиту в порядке возрастания кратности. Примеры.
В пространственной группе P1, где по сути нет никаких элементов симметрии, есть только одна общая позиция xyz кратностью 1. В ячейке может быть любое число атомов, все они относятся к пст одного типа, но с разными значениями xyz. В группе P-1 центры инверсии – это частные положения с кратностью 1, их в ячейке восемь: 1a 0,0,0; 1b 0,0,1/2; 1c 0,1/2,0; 1d 1/2,0,0; 1e 1/2,1/2,0; 1f 1/2,0,1/2; 1g 0,1/2,1/2; 1h 1/2,1/2,1/2. Общее положение 2i включает две точки x,y,z и -x,-y,-z. Более сложный пример далее. Разумеется, это не для заучивания, есть International Tables, где всё это перечислено для всех 230 пространственных групп. У нас на компьютерах установлена справочная система “Space Group Tables”.
Какова максимально возможная кратность пст и в каких группах она может появиться? (подсказка: есть связь с порядком точечной группы и с числом граней простой формы общего типа).

если заселены те же пст, конкретные значения координат могут сильно отличаться, что ведёт к разным КЧ
– В некубических группах возможны разные формы элементарной ячейки (разные углы и/или сильно отличающиеся соотношения осей), что тоже ведёт к разным КЧ.
– При геометрическом подобии возможны разные типы связи: CsCl и FeAl.
Таким образом, число принципиально разных типов структур никак не ограничено числом пространственных групп (230). Их бесконечно много!

При описании структуры нет нужды перечислять позиции всех атомов. Достаточно указать пространственную группу и координаты одного атома из каждой пст, а остальные получаются автоматически. Ниже – пример описания структуры в Inorganic Crystal Structure Database (ICSD). Простейшую формулу и число формул в ячейке определите сами по кратностям позиций.

ZnCr2O4, Z=8

пст, и даже переменные координаты почти одинаковые: 0,30 и 0,29. Но разные с/а!

В результате такие расстояния (Å):
Ti-O Kr-F
1.985×2 1.886×2
1.945×4 3.214×4
КЧ 6 – 3 2-1
Трёхмерная Молекулы
связность