Алгебра логики

Август 1, 2022

Главная
Информатика
Алгебра логики

Содержание

2. Кроме обычной алгебры существует специальная, основы которой были заложены английским математиком XIX века Дж. Булем. Эта
3. Среди задач, для решения которых привлекают компьютер, немало таких, которые принято называть логическими. Все знают шуточную
4. Понятие — форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета (класса предметов), позволяющие отличать его от других.
5. Высказывание (суждение/утверждение) — это формулировка своего понимания окр. мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-то
6. Умозаключение — форма мышления, с помощью которого из одного или нескольких суждений может быть получено новое
7. ВЫСКАЗЫВАНИЯ Простые (содержат только одну простую мысль) «Петров – врач» «Петров – шахматист» Составные (содержат несколько
8. ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы – таблицы истинности, в которой
9. Таблица истинности – это таблица, с помощью которой определяются значения логических выражений. ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ
10. ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ 1. Отрицание (инверсия) «НЕ» ¬ от лат. inversio — переворачиваю, 2. Логич. сложение
11. 4. Логическое следование (импликация) «ЕСЛИ … ТО» → от лат. implicatio — тесно связываю, Из таблицы
12. 6. Строгая дизъюнкция. Исключающее «ИЛИ» Этой логической операции соответствует логическая связка “либо ... либо”. ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ
14. Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
15. Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание
16. Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание. Законы алгебры
17. Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из
18. Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел. В отличие
19. В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности:
20. Логические элементы Современный этап промышленного развития характеризуется тем, что разработчики систем автоматики и вычислительной техники стремятся
21. Логический элемент НЕ
22. Логический элемент ИЛИ предназначен для “вычисления” значения логического сложения. Работа этого логического элемента эквивалентна проверке составного
23. Логический элемент И предназначен для “вычисления” значения логического умножения. Работа этого логического элемента эквивалентна проверке составного
24. Цепочки элементов Сигналы, вырабатываемые одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента - это даёт
25. Связь операций И-НЕ и ИЛИ-НЕ с основными операциями алгебры логики устанавливается законами, открытыми английским математиком Августусом
27. Скачать презентацию

Слайд 2

Кроме обычной алгебры существует специальная, основы которой были заложены английским математиком

XIX века Дж. Булем. Эта алгебра занимается так называемым исчислением высказываний.
Ее особенностью является применимость для описания работы так называемых дискретных устройств, к числу которых принадлежит целый класс устройств автоматики и вычислительной техники.
При этом сама алгебра выступает в качестве модели устройства. Это означает, что работа произвольного устройства указанного типа может быть лишь в каком-то отношении описана с помощью построений этой алгебры.

Алгебра логики

Слайд 3

Среди задач, для решения которых привлекают компьютер, немало таких, которые принято

называть логическими.
Все знают шуточную задачу о перевозке козла, волка и капусты с одного берега на другой. В этой задаче властвует не арифметика, а умение логически рассуждать. Человек прибегает к логике, когда составляет расписания, распутывает противоречивые показания или составляет инструкции.
В логических задачах исходными данными являются не только и не столько числа, а сложные логические суждения, подчас весьма запутанные. Эти суждения и связи между ними бывают иногда столь противоречивы, что для их разрешения привлекают вычислительные машины.

Слайд 4

Понятие — форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета (класса предметов),

позволяющие отличать его от других.
Примеры: проливной дождь, круглый шар, новый компьютер.

(384-328 гг. до н.э.)

Аристотель - основатель Формальной логики.
Описал основные формы абстрактного мышления: понятие, высказывание, умозаключение.

Слайд 5

Высказывание (суждение/утверждение) — это формулировка своего понимания окр. мира. Высказывание является

повествовательным предложением, в котором что-то утверждается или отрицается.
Высказывание может быть истинным или ложным.
Истинное высказывание - правильно отражает реальную действительность.
Ложное - противоречит действительности.
Примеры: «У прямоугольника все углы прямые» (Истинное высказывание).
«Компьютер был изобретен в середине XIX века (Ложное высказывание).

Высказывание

Слайд 6

Умозаключение — форма мышления, с помощью которого из одного или нескольких

суждений может быть получено новое суждение.
Пример: Из высказывания:
«Равнобедренный треугольник, у кот. все углы равны»
можно путём умозаключений получить другое высказывание
«Этот треугольник равносторонний».

Умозаключение

Слайд 7

ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Простые
(содержат только одну простую мысль)
«Петров – врач»
«Петров – шахматист»
Составные
(содержат несколько

простых высказываний соединённых логическими связками: «и», «или», «не», «если …то», «тогда и только тогда»)
«Петров - врач и шахматист» «Петров – не врач и не шахматист»

В алгебре простые высказывания обозначаются буквами латинского алфавита и наз. логическими переменными.
Обозначив А = «Петров – врач», В = «Петров – шахматист», получим логические выражения (функции):
F(A,B) = А и В («Петров - врач и шахматист»)
F(A,B) = не А и не В («Петров – не врач и не шахматист»)

Слайд 8

ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы –

таблицы истинности, в которой перечисляются все комбинации значений логических переменных, входящих в выражение, и определяются значения логической функции.

Слайд 9

Таблица истинности – это таблица, с помощью которой определяются значения логических

выражений.

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЯХ
действия в скобках; инверсия (¬), конъюнкция (^), дизъюнкция (v), импликация (→), эквивалентность(↔).

Слайд 10

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
1. Отрицание (инверсия) «НЕ» ¬
от лат. inversio —

переворачиваю,

2. Логич. сложение (дизьюнкция) «ИЛИ» +, v от лат. disjunctio - различаю

3. Логич. умножение (конъюнкция) «И» ∙ , х , ^, & от лат. conjunctio – соединяю

Слайд 11

4. Логическое следование (импликация) «ЕСЛИ … ТО» → от лат. implicatio

— тесно связываю,

Из таблицы видно : Импликация ложна, если из истины следует ложь, и истинна - во всех остальных случаях.

5. Логическое равенство (эквивалентность/равнозначность) «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…» «НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО » ≡ ↔
от лат. equivalents — равноценное

Из таблицы видно : Эквивалентность истинна, если обе переменные одновременно либо истинны, либо ложны.

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Слайд 12

6. Строгая дизъюнкция.
Исключающее «ИЛИ»
Этой логической операции соответствует логическая связка “либо

... либо”.

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Слайд 13

Слайд 14

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть

истинно одновременно со своим отрицанием. “Я студент” и “Я не студент”.

Законы алгебры логики

Слайд 15

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются

лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Законы алгебры логики

Слайд 16

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что

утверждать это высказывание.

Законы алгебры логики

Слайд 17

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция

одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы алгебры логики

Слайд 18

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения

и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Законы алгебры логики

Слайд 19

В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение

равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Законы алгебры логики

Слайд 20

Логические элементы
Современный этап промышленного развития характеризуется тем, что разработчики систем автоматики

и вычислительной техники стремятся использовать функциональные модули, выполняющие определённые схемные задачи: логические преобразования, хранение информации и т.д.
Конкретный вид электрической схемы, использованной для реализации заданной логической функции, как правило, не имеет существенного значения.
Техническое устройство, реализующее логическую функцию, может рассматриваться просто как логический элемент, внутренняя структура которого не конкретизируется.

Слайд 21

Логический элемент НЕ

Слайд 22

Логический элемент ИЛИ предназначен для “вычисления” значения логического сложения.
Работа этого

логического элемента эквивалентна проверке составного условия со служебным словом “или”.
Алгоритм работы логического элемента “или” записывается следующим образом: “Если А=1 или В=1, то f(А,В)=1, иначе f(А,В)=0”.

Логический элемент ИЛИ

Слайд 23

Логический элемент И предназначен для “вычисления” значения логического умножения.
Работа этого

логического элемента эквивалентна проверке составного условия со служебным словом “и”.
Алгоритм работы логического элемента “и” записывается следующим образом: “Если А=1 и В=1, то f(А,В)=1, иначе f(А,В)=0”.

Логический элемент И

Слайд 24

Цепочки элементов
Сигналы, вырабатываемые одним логическим элементом, можно подавать на вход другого

элемента - это даёт возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов.

Слайд 25

Связь операций И-НЕ и ИЛИ-НЕ с основными операциями алгебры логики устанавливается

законами, открытыми английским математиком Августусом де Морганом (1806-1871) и поэтому носящими его имя.

Элементы И-НЕ и ИЛИ-НЕ

Алгебра логики

Содержание

Кроме обычной алгебры существует специальная, основы которой были заложены английским математиком

Среди задач, для решения которых привлекают компьютер, немало таких, которые принято

Понятие — форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета (класса предметов),

Высказывание (суждение/утверждение) — это формулировка своего понимания окр. мира. Высказывание является

Умозаключение — форма мышления, с помощью которого из одного или нескольких

ВЫСКАЗЫВАНИЯПростые(содержат только одну простую мысль) «Петров – врач»«Петров – шахматист»Составные(содержат несколько

ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИЗначение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы –

Таблица истинности – это таблица, с помощью которой определяются значения логических

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ1. Отрицание (инверсия) «НЕ» ¬ от лат. inversio —

4. Логическое следование (импликация) «ЕСЛИ … ТО» → от лат. implicatio

6. Строгая дизъюнкция.Исключающее «ИЛИ» Этой логической операции соответствует логическая связка “либо

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения

В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение

Логические элементыСовременный этап промышленного развития характеризуется тем, что разработчики систем автоматики

Логический элемент НЕ

Логический элемент ИЛИ предназначен для “вычисления” значения логического сложения. Работа этого

Логический элемент И предназначен для “вычисления” значения логического умножения. Работа этого

Цепочки элементовСигналы, вырабатываемые одним логическим элементом, можно подавать на вход другого

Связь операций И-НЕ и ИЛИ-НЕ с основными операциями алгебры логики устанавливается

Похожие презентации

ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Простые
(содержат только одну простую мысль)
«Петров – врач»
«Петров – шахматист»
Составные
(содержат несколько

ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы –

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
1. Отрицание (инверсия) «НЕ» ¬
от лат. inversio —

6. Строгая дизъюнкция.
Исключающее «ИЛИ»
Этой логической операции соответствует логическая связка “либо

Логические элементы
Современный этап промышленного развития характеризуется тем, что разработчики систем автоматики

Логический элемент ИЛИ предназначен для “вычисления” значения логического сложения.
Работа этого

Логический элемент И предназначен для “вычисления” значения логического умножения.
Работа этого

Цепочки элементов
Сигналы, вырабатываемые одним логическим элементом, можно подавать на вход другого