Коды Рида - Маллера

Коды Рида - Маллера над GF(2)

Коды Рида – Маллера (РМ)

Порождающая матрица

Порождающая матрица кода РМ l-го порядка длиной 2m определяется как

Порождающая матрица (Булевы функции)

где G0 – вектор размерностью n = 2m

Порождающая матрица

Для определенности будем считать, что первый столбец в G1 состоит

Порождающая матрица

Поскольку существует всего
способов выбора j строк, входящих в произведение,

Параметры кода РМ- l

,
,

Это обеспечивает линейную независимость строк в

Параметры кода РМ- l

Код Рида – Маллера l-го порядка длиной n

Кодовые расстояния

Код РМ-1 является двойственным расширенному коду Хемминга, для него
Код

РМ

Формирование через булевы переменные

Кодовых слов

1

2

Кодовых слов

h=2

Обобщенный GRM (n,k)

Не-бинарный код

На основе системе счисления по смешанному основанию

Система счисления по смешанному основанию

Пусть рассматривается множество целых чисел
{0,1, …,

Матрица Паскаля

На основе матрицы Паскаля

Алгоритм мажоритарного декодирование кода РМ

Рассмотрим метод мажоритарного декодирования кода РМ по

Кодирование

Информационная вектор-строка
код

Матричная запись

Кодер РМ

Проверочные соотношения

Можно построить проверочные соотношения, связывающие информационный символ с символами кодового

Проверочные соотношения Ортогональная система проверок

Правило принятия решений

Если

Если

Декодер

Вероятность ошибки на бит

Здесь

d – кодовое расстояние, p – вероятность ошибки на входе декодера,