Логические основы работы ЭВМ

Июль 24, 2022

Главная
Информатика
Логические основы работы ЭВМ

Содержание

2. Изучаемые вопросы Формы мышления. Алгебра высказываний. Логические выражения и функции. Основные законы алгебры логики. Примеры решения
3. Формы мышления. Алгебра высказываний.
4. Логика, как и теория алгоритмов – является теоретической основой современных ЭВМ и программирования. Слово «логика» в
5. Понятие – это мысль, в которой обобщаются отличительные свойства. Примеры: портфель, трапеция, ураганный ветер. Понятие имеет
6. СУЖДЕНИЕ – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается об объектах, их свойствах и
7. Математическая логика является специальным математическим аппаратом, который лежит в основе работы логических схем и устройств персонального
8. Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. Суждения и утверждения в математической логике называют высказываниями и предикатами.
9. ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Например: Земля
10. Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как
11. Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний логическими связками — НЕ, И, ИЛИ. Значение истинности сложных
12. В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание
13. Базовые логические операции
14. Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования
15. КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ) соответствует союзу И обозначается знаком & или Λ, или · Конъюнкция двух логических
16. ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ) соответствует союзу ИЛИ обозначается знаком v или + или │ Дизъюнкция двух логических
17. ИНВЕРСИЯ (ОТРИЦАНИЕ) соответствует частице НЕ обозначается черточкой над именем переменной или знаком ¬ перед переменной Инверсия
18. Сложные высказывания можно представить в виде логического выражения или формулы, состоящей из логических переменных, которые обозначают
19. Таблицы истинности можно построить для каждого логического выражения. Она определяет его значение при всех возможных комбинациях
20. Например, построим таблицу истинности для логической функции: 1. Количество входных переменных в заданном выражении равно трем
24. Задание 1. Постройте таблицу истинности для данного логического выражения:
26. Равносильные логические выражения - логические выражения, у которых совпадают последние столбцы таблиц истинности. Составное высказывание можно
27. Логические выражения и функции
28. Выше были рассмотрены функции двух аргументов: логическое умножение F (A, B) = A&B, логическое сложение F
29. Легко заметить, что здесь логическая функция F2 является функцией логического умножения, F8 — функцией логического сложения,
30. В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «и», «или», «не» используются и некоторые другие:
31. ИМПЛИКАЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ) Импликация двух высказываний А и В соответствует союзу «ЕСЛИ…ТО». Запись А → В
32. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО, ФУНКЦИЯ ТОЖДЕСТВА) Она обозначается символами ≡ или . («тогда и только тогда»). Запись
33. В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путём логических преобразований к трём базовым логическим
34. Основные законы алгебры логики
35. Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления.
36. 1. Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе: Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором
37. 3. Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает,
38. 4. Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:
39. 5. Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых «сомножителей» равносильна одному
40. 7. Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно
41. 9. Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители,
42. РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
43. 1. Какое из предложений является высказыванием: а) Не можете ли вы передать мне соль? б) Некоторые
44. 2. Составьте отрицания к данным высказываниям: а) Все дни в августе были солнечными б) Не все
46. Скачать презентацию

Слайд 2

Изучаемые вопросы
Формы мышления. Алгебра высказываний.
Логические выражения и функции.
Основные законы алгебры логики.
Примеры

решения задач.

Слайд 3

Формы мышления.
Алгебра высказываний.

Слайд 4

Логика, как и теория алгоритмов – является теоретической основой современных ЭВМ

и программирования.
Слово «логика» в широком смысле означает науку о правилах рассуждений, а в узком смысле – совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления.

Слайд 5

Понятие – это мысль, в которой обобщаются отличительные свойства.
Примеры: портфель, трапеция,

ураганный ветер.
Понятие имеет две стороны: содержание и объем.
Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов.
Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется.

Слайд 6

СУЖДЕНИЕ – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается

об объектах, их свойствах и отношениях.
Суждениями обычно являются повествовательными предложениями, которые могут быть или истинными или ложными.
«Берн — столица Франции»,
«Река Кубань впадает в Азовское море»,
«3×5=10»
УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем новое суждение (заключение).
Все металлы - простые вещества. Литий - металл.→ Литий - простое вещество.

Слайд 7

Математическая логика является специальным математическим аппаратом, который лежит в основе работы

логических схем и устройств персонального компьютера. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем.
Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

Слайд 8

Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний.
Суждения и утверждения в математической логике

называют высказываниями и предикатами.
Высказывания – это конкретные частные утверждения.
Предикаты – это утверждение о переменных, истинность предикатов зависит от значений, входящих в них переменных.
Пример высказываний: «5+7=12», «5 – четное число»
Пример предикатов: «x+y>0», «N – число четное».

Слайд 9

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно

истинно или ложно.

Например:
Земля - планета Солнечной системы. (Истинно) 2+8<5 (Ложно) 5 · 5=25 (Истинно) Всякий квадрат есть параллелограмм (Истинно) Каждый параллелограмм есть квадрат (Ложно) 2 · 2 =5 (Ложно)
Не всякое предложение является высказыванием:
1) Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются. - “Какого цвета этот дом?” - “Пейте томатный сок!” - “Стоп!”
2) Не являются высказываниями и определения. “Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны”. Определения не бывают истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов.

Слайд 10

Высказывания могут быть простыми и сложными.
Высказывание считается простым, если никакую его

часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание
Некоторые высказывания можно разложить на отдельные части, при этом каждая такая часть будет самостоятельным высказыванием. Например, высказывание “Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток” состоит из 2 частей. Высказывание может состоять и из большего количества частей.
Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым.

Слайд 11

Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний логическими связками — НЕ,

И, ИЛИ. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.
Например, даны простые высказывания:
На улице идет дождь.
На улице светит солнце.
На улице пасмурная погода.
Составим из них сложные высказывания:
На улице идет дождь и на улице светит солнце.
На улице светит солнце или на улице пасмурная погода.

Слайд 12

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно

оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0.
Простые высказывания назвали логическими переменными и для простоты записи их обозначают латинскими буквами: А, В, С…
Луна является спутником Земли. А = 1 Москва – столица Германии. В = 0
Сложные высказывания называются логическими функциями. Значения логической функции также может принимать значения только 0 или 1.

Слайд 13

Базовые
логические операции

Слайд 14

Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых

получаются новые, составные высказывания.
Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и» (логическое умножение (конъюнкция)), «или» (логическое сложение (дизъюнкция)), «не» (логическое отрицание (инверсия)).

Слайд 15

КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ)
соответствует союзу И
обозначается знаком & или Λ, или

·
Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных конъюнкцией. А & В & С=1, только если А=1, В=1, С=1.
Таблица истинности конъюнкции имеет следующий вид:

Слайд 16

ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ)
соответствует союзу ИЛИ
обозначается знаком v или + или │
Дизъюнкция

двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией. А v В v С =0, только если А=0, В=0, С=0.
Таблица истинности дизъюнкции имеет следующий вид:

Слайд 17

ИНВЕРСИЯ (ОТРИЦАНИЕ)
соответствует частице НЕ
обозначается черточкой над именем переменной или знаком ¬

перед переменной
Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.
Таблица истинности инверсии имеет вид:

Высказывание А : Сегодня по расписанию будут занятия по математике.
Высказывание : Сегодня по расписанию не будет занятий по математике

Слайд 18

Сложные высказывания можно представить в виде логического выражения или формулы, состоящей

из логических переменных, которые обозначают высказывания, и знаков логических операции.
Логические операции выполняются в следующем порядке:
инверсия
конъюнкция
дизъюнкция
Скобки позволяют это порядок изменить.

Слайд 19

Таблицы истинности можно построить для каждого логического выражения. Она определяет его

значение при всех возможных комбинациях значений логических переменных.

Записать выражение и определить порядок выполнения операций.
Количество строк N в таблице истинности равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных n, и определятся по формуле N=2n;
Количество столбцов в таблице истинности равно количеству логических переменных плюс количество операций;
Построить таблицу истинности с необходимым количеством строк и столбцов и записать значение исходных логических переменных;
Заполнить таблицу истинности по столбцам в соответствии с таблицами истинности.

Слайд 20

Например, построим таблицу истинности для логической функции:
1. Количество входных переменных в

заданном выражении равно трем (A,B,C). Значит, количество входных наборов, а значит и строк Q=23=8.
2. Количество столбцов равно 6 (3 переменные + 3 операции). Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений A,B,C, промежуточных результатов и (B V C), а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Задание 1. Постройте таблицу истинности для данного логического выражения:

Слайд 25

Слайд 26

Равносильные логические выражения - логические выражения, у которых совпадают последние столбцы

таблиц истинности.
Составное высказывание можно рассматривать как некую логическую функцию.
Например:

Слайд 27

Логические
выражения и функции

Слайд 28

Выше были рассмотрены функции двух аргументов: логическое умножение F (A, B)

= A&B, логическое сложение F (A, B) = AVB, а также логическое отрицание F(A) = ¬А, в котором значение второго аргумента можно считать равным нулю.
Логическая функция двух аргументов имеет четыре возможных набора исходных значений этих аргументов, то есть существует 16 различных логических функций двух аргументов.

Слайд 29

Легко заметить, что здесь логическая функция F2 является функцией логического умножения,

F8 — функцией логического сложения, F13 — функцией логического отрицания для аргумента А и F11 — функцией логического отрицания для аргумента В.

Слайд 30

В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «и», «или»,

«не» используются и некоторые другие: «если... то...», «... тогда и только тогда, когда...» и др. Некоторые из них имеют свое название и свой символ, и им соответствуют определенные логические функции.

Слайд 31

ИМПЛИКАЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ)
Импликация двух высказываний А и В соответствует союзу «ЕСЛИ…ТО».
Запись

А → В читается как «из А следует В»
Импликация двух высказываний истинна всегда, кроме случая, если первое высказывание истинно, а второе ложно.
Таблица истинности импликации двух суждений А и В такова:

Слайд 32

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО, ФУНКЦИЯ ТОЖДЕСТВА)
Она обозначается символами ≡ или <=>. («тогда

и только тогда»).
Запись А ≡ В читается как «А эквивалентно В».
Эквивалентность двух высказываний истинна только в тех случаях, когда оба высказывания ложны или оба истинны.
Таблица истинности эквивалентности двух суждений А и В такова:

Слайд 33

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путём логических

преобразований к трём базовым логическим операциям: инверсии, дизъюнкции и конъюнкции.

Слайд 34

Основные законы
алгебры логики

Слайд 35

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Законы логики отражают

наиболее важные закономерности логического мышления.
В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений в соответствие с законами логики.
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Слайд 36

1. Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе:
Закон тождества утверждает, что

мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.
2. Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:
Закон непротиворечия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”

Слайд 37

3. Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным,

третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина:
Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно, либо ложно. Третьего не дано.
“Сегодня я получу 5 либо не получу”.
Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Слайд 38

4. Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в

результате мы получим исходное высказывание:
Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.

Слайд 39

5. Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов.
Конъюнкция

одинаковых «сомножителей» равносильна одному из них:
Дизъюнкция одинаковых «слагаемых» равносильна одному:
6. Законы де Моргана:
Смысл законов де Моргана можно выразить в кратких словесных формулировках:
отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых;
отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.

Слайд 40

7. Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять

местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:
Логическое умножение:
Логическое сложение:
8. Правило ассоциативности. Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:
Логическое умножение:
Логическое сложение:

Слайд 41

9. Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки

можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки, как общие множители, так и общие слагаемые:
Дистрибутивность умножения относительно сложения:
Дистрибутивность сложения относительно умножения:
10.
11.
12. Законы поглощения:

Слайд 42

РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Слайд 43

1. Какое из предложений является высказыванием:
а) Не можете ли вы передать

мне соль?
б) Некоторые лекарства опаснее самих болезней.
в) Сегодня солнечно.

Слайд 44

2. Составьте отрицания к данным высказываниям:
а) Все дни в августе были

солнечными
б) Не все птицы летают
в) Все растения съедобные
3. Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность или ложность:
1) Петербург – столица нашей Родины.
2) Собака – хищное животное.
3) Я поступил в университет.
4) Как твои дела?
5) Мы сегодня встретимся?
6) Летом я отдыхал на море.

Логические основы работы ЭВМ

Содержание

Изучаемые вопросыФормы мышления. Алгебра высказываний.Логические выражения и функции.Основные законы алгебры логики.Примеры

Формы мышления. Алгебра высказываний.

Логика, как и теория алгоритмов – является теоретической основой современных ЭВМ

Понятие – это мысль, в которой обобщаются отличительные свойства.Примеры: портфель, трапеция,

СУЖДЕНИЕ – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается

Математическая логика является специальным математическим аппаратом, который лежит в основе работы

Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний.Суждения и утверждения в математической логике

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно

Высказывания могут быть простыми и сложными.Высказывание считается простым, если никакую его

Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний логическими связками — НЕ,

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно

Базовые логические операции

Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых

КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ)соответствует союзу И обозначается знаком & или Λ, или

ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ)соответствует союзу ИЛИобозначается знаком v или + или │Дизъюнкция

ИНВЕРСИЯ (ОТРИЦАНИЕ)соответствует частице НЕобозначается черточкой над именем переменной или знаком ¬