Логика - наука о формах и способах мышления

Пример 3.1. Отобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна соотношение между объемами понятий натуральные числа и четные числа.

А ={Натуральные числа (целые положительные числа)}
В ={Четные числа (множество отрицательных и положительных четных чисел)}
С ={множество положительных четных чисел}

А

НЕ А

А= {множество натуральных чисел} – круг.
Универсальное множество 1 - прямоугольник,
Множество НЕ А - прямоугольник минус круг.

3.3. Отобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна соотношения между следующими объемами понятий:
а) целые и натуральные числа;
б) четные и нечетные числа.
в) Все грибы, съедобные и несъедобные грибы

Ц

Пример:
«Все углы треугольника равны» (посылка), то «Этот треугольник равносторонний» (заключение)
Посылками умозаключений по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения, и тогда умозаключение будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Немецкий ученый Готфрид Лейбниц (1646-1716) заложил основы математической логики. Он пытался построить первые логические исчисления (свести логику к математике), предложил использовать символы вместо слов обычного языка, поставил много задач по созданию символьной логики, его идеи оказали влияние на последующие работы ученых в этой области.

Математическая логика

Высказывание “Все мышки и кошки с хвостами”
является сложным и состоит из двух простых высказываний.
А=“Все мышки с хвостами” и В=“Все кошки с хвостами”
Его можно записать в виде логической функции, значение которой истинно: F(A,B)=A и B

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только ложно (0) или истинно (1).

Таблица истинности:

F= А ∧ В

Таблица истинности:

F= А ∨ В

следствие

Если будет дождь, то мы не пойдем на улицу.
Если я поленюсь, то получу двойку.
Если на траве роса, то скоро настанет вечер.

Обозначение: А→В, А⇒В

Таблица истинности:

Импликация - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Обозначение: А~В, А↔В, А≡В, А=В

логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности:

1

2

3

1

2

1

2

3

4

1

2

1

2

3

3

Приоритет логических операций:
() Операции в скобках
НЕ Отрицание
И логическое умножение
ИЛИ Логическое сложение
→ Импликация
↔ Эквивалентность

Обозначим
А=«2·2=5» – ложно (0)
В=«2·2=4» – истинно (1)
Тогда (А или В) и ( или )

Определяем истинность составного высказывания:

А=1, В=0, С=1, D=0

Установим истинность простых высказываний:

1

Пример. Построим таблицу истинности следующей функции:

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

А =«2·2=4» - 1 В = «3·3=9» - 1. Тогда

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

Таблица. Логические функции двух переменных

·

+