Множество. Высказывания. Простые и сложные высказывания

Таблицы истинности. Правила записи логических выражений. Приоритеты логических операций.

ответ на вопрос
«Как мы рассуждаем?», изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики.
Он подверг анализу человеческое мышление, его формы - понятие, суждение, умозаключение.
Так возникла формальная логика.

Основы логики были заложены работами ученого и философа Аристотеля
(384 -322гг. до н.э.).

о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть истинно или ложно.
Не являются высказываниями восклицательные и вопросительные предложения:
Уходя, гасите свет Принеси мне книгу
Ты идешь в кино?
Высказывания делятся на:
простые 2+8<5 - ложно
Земля – планета Солнечной системы - истинно;
составные (истинность которых вычисляется с помощью алгебры высказываний)

числа и четные числа.

А ={Натуральные числа (целые положительные числа)}
В ={Четные числа (множество отрицательных и положительных четных чисел)}
С ={множество положительных четных чисел}

область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний). В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику.

Немецкий ученый Готфрид Лейбниц (1646-1716) заложил основы математической логики. Он пытался построить первые логические исчисления (свести логику к математике), предложил использовать символы вместо слов обычного языка, поставил много задач по созданию символьной логики, его идеи оказали влияние на последующие работы ученых в этой области.

Математическая логика

частные утверждения (И/Л)
{Аристотель - основоположник логики}
{На яблонях растут бананы}
2. Логические переменные (предикаты) – логические высказывания, значения которых меняются в зависимости от входящих в них переменных, обозначаются заглавными латинскими буквами А, В, С, D, F,…
А = {Аристотель - основоположник логики}
В = {На яблонях растут бананы}.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

из простых и связанных логическими операциямим И, ИЛИ, НЕ и др.)

Высказывание “Все мышки и кошки с хвостами”
является сложным и состоит из двух простых высказываний.
А=“Все мышки с хвостами” и В=“Все кошки с хвостами”
Его можно записать в виде логической функции, значение которой истинно: F(A,B)=A и B

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только ложно (0) или истинно (1).

{Дети НЕ любят игрушки}

{кит, акула, дельфин}

Таблица истинности:

F= А ∧ В

10А или 10Б кл.}

Таблица истинности:

F= А ∨ В

пойдем на улицу.
Если на траве роса, то скоро настанет вечер.

Обозначение: А→В, А⇒В

Таблица истинности:

Импликация - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

он включен.
Мы дышим свежим воздухом тогда и только тогда, когда гуляем в парке.

Обозначение: А~В, А↔В, А≡В, А=В

логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности:

А & ¬ B
2) A & (B & C)
3) (A & B) ν (C & ¬ D)
4) A ν ¬ D ν B
5) A → (B ↔ ¬ A)

1

2

3

1

2

1

2

3

4

1

2

1

2

3

3

Приоритет логических операций:
() Операции в скобках
НЕ Отрицание
И логическое умножение
ИЛИ Логическое сложение
→ Импликация
↔ Эквивалентность