Основы логики и логические основы компьютера

мышления (речи) от его содержания.

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия).

Логика — это наука о формах и способах мышления.

Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

В основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями.

Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

понятием, образуют некоторое множество.

«компьютер» «автомобиль»

Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта, выделяющие, отличающие его от других объектов.

Содержание понятия - совокупность существенных признаков объекта.

Содержание понятия «персональный компьютер»: «Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя».

Объем понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.

строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением. Не может быть повелительным или вопросительным предложением, т.к. оценка его истинности или ложности невозможна.

Естественный язык: «Два умножить на два равно четырем»

Формальный язык: «2 • 2 = 4».

Истинное высказывание (true): связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. «Процессор является устройством обработки информации».

Ложное высказывание (false): не соответствует реальной действительности. «Процессор является устройством печати».

Высказывание — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними (истина или ложь).

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. «Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати»

Иногда истинность высказывания является относительной (компьютер).

будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Умозаключение.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

«Все углы треугольника равны»

«Этот треугольник равносторонний»

Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения.

на два равно пяти».

Алгебра высказываний

Суждения (простые высказывания) - логические переменные

Истина — 1 (А = 1)

Ложь — 0 (В = 0)

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0). Логические константы

Для образования сложных высказываний используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина, которая может принимать значение ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическое выражение: простое или сложное высказывание.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определить истинность или ложность высказываний не вникая в их содержание.

«Отцом» алгебры высказываний является Джордж Буль

которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов

Логическое умножение (конъюнкция)

Операция логического умножения или конъюнкция: объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» (“&” либо “Λ”).

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

«2*2=5 и 3*3=10»
«2*2=5 и 3*3=9»
«2*2=4 и 3*3=10»
«2*2=4 и 3*3=9»

Составное высказывание
F = A & B

Таблица истинности функций логического умножения

нескольких) высказываний с помощью союза «или» («v» либо «+»).

Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

Составное высказывание F = A v В

Таблица истинности функции логического сложения

«2*2=5 или 3*3=10»
«2*2=5 или 3*3=9»
«2*2=4 или 3*3=10»
«2*2=4 или 3*3=9»

истинным (Ā, ¬А)

Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией (- над переменной).

А — «Два умножить на два равно четырем» — истина

F — «Два умножить на два не равно четырем» — ложь

Таблица истинности функции логического отрицания

F = Ā

→В. По своему применению приближена к союзам если…, то….
Записывается как посылка ? следствие.

Эквиваленция (логическая равнозначность). Обозначается знаками ≡ или ↔. Является истинным тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Логические выражения  A и B эквивалентны в том и только в том случае, когда эквиваленция A ↔ B истинна при всех значениях логических переменных.

логические переменные (высказывания) + знаки логических операций (логические функции).

Составное высказывание «(2*2 = 5 или 2*2 = 4) и (2*2 ≠ 5 или 2*2 ≠ 4)»

А = «2*2 = 5» — ложно (0)

В = «2*2 = 4» — истинно (1)

1. инверсия

2. конъюнкция

3. дизъюнкция

Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:
F = (A v B)&(Ā v В)

Истинность или ложность составных высказываний определяется формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

4. импликация

5. эквивалентность

количество логических операций.

Последовательность действий при построении таблиц истинности:

3. построить макет таблицы с определённым количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных

4. заполнить таблицу по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности, просчитывая каждое действие

1. количество строк равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно n, то количество строк — 2n.

→ B

1 – истина, 0 - ложь

(отрицания отрицания)

Закон коммутативности
(переместительный):

А&В = В&А

А v В = В v А

Закон ассоциативности:

(А&В)&С = А&(В&С)

(А v В) v С = В v (А v С)

Закон дистрибутивности (распределительный). В отличие от обычной алгебры за скобки можно выносит и общие слагаемые:

(А&В) v (А&С) = А&(В v С)

Относительно сложения

Относительно умножения

(А v В) &(А v С) = А v(В & С)

Закон склеивания

Закон исключения констант

Аv1=1, Аv0=А

А&1=А, А&0=0

сложение

умножение

переменных даёт большое количество вариантов.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Закон равносильности AvA =A; A&А =A

Законы де Моргана

Законы поглощения

Закон противоречия

Av(A&B) =A

A&(AvB)=AВ

Av(A&B) =A

& С

= 1

1)

2)

=

=

=

=

Если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Кто изучал логику?

Введём переменные:

А - изучал первый;
В – изучал второй;
С – изучал третий.

Составляем сложное высказывание:

Логику изучает третий ученик

Джек, Лесси и Гриф. Трое судей на вопрос хозяев собак ответили:
1-й судья: Джек занял второе место
2-й судья: Лесси заняла не второе место
3-й судья: Гриф не был первым
После объявления результатов оказалось, что двое судей ошиблись, а один оказался прав. Как распределились призовые места?

Балбес и Бывалый. Следствием установлено:
- если Трус не виновен или Балбес виновен, то Бывалый виновен;
- если Трус не виновен, то Балбес не виновен
Виновен ли Трус?

Решение: Тр – виновен, Бал – виновен, Быв - виновен

Трус виновен

«Заяц занял первое место, а второе – лиса». Вторая белка возразила: «Заяц занял второе место, косуля – первое». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а другая – нет. Как распределились места в кроссе?

Известно, что все живут в разных частях света и имеют разное хобби. Кто живет в каком городе и чем увлекается?
Известно, что Дмитрий никогда не бывал в Париже, а Людмила - в Риме; тот, кто живет в Париже, не любит кино; человек, который живет в Риме, занимается вокалом; Людмила испытывает отвращение к балету.