Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел

Август 22, 2022

Главная
Математика
Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел

Содержание

2. Определение Комплексным числом называется число вида где , а x и y – вещественные числа.
3. Основная теорема алгебры Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа.
4. Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом:
5. Если , то число называют чисто мнимым. Если , то получается вещественное число. Два комплексных числа
6. Два комплексных числа и равны друг другу, если и Комплексное число z считается равным нулю, если
7. Всякое комплексное число можно изобразить точкой на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чисел
8. Число z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной
9. O M(x,y) X Y r х у
10. Модуль комплексного числа Число называется модулем комплексного числа и обозначается .
11. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами ,
12. Положительным направлением изменения угла φ считается направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат:
13. , φ – аргумент комплексного числа, который находят из формул или в силу того, что ,
14. При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного
15. Решение. Комплексное число z=x+iy в тригонометрической форме имеет вид z=r(cosφ +isinφ), где 1) z1=1+i (число z1
16. 1) Записать число в тригонометрической форме: х у -2 0 ϕ
17. 2) Записать число в алгебраической форме:
18. Тригонометрическая форма комплексного числа х у М(a,b) a b 0 ϕ
19. Выполнить №1 и №2 №1 Записать в тригонометрической форме комплексное число . .
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение
Комплексным числом называется
число вида
где , а x и y

– вещественные числа.

Слайд 3

Основная теорема алгебры
Выражение
называется алгебраической формой
записи комплексного числа.

Слайд 4

Число x называется действительной частью,
y–мнимой частью комплексного числа z.
Это

записывают следующим образом:

Слайд 5

Если , то число называют
чисто мнимым.
Если , то получается
вещественное

число.
Два комплексных числа
и
называются сопряженными.

Слайд 6

Два комплексных числа и
равны друг другу, если
и

Комплексное число z считается
равным нулю, если x=y=0.

Слайд 7

Всякое комплексное число можно изобразить точкой на плоскости, т.к. каждому z

соответствует упорядоченная пара вещественных чисел (x;y).

Слайд 8

Число z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы

в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс–действительной, а ось ординат– мнимой осью комплексной плоскости.

Слайд 9

O
M(x,y)
X
Y
r
х
у

Слайд 10

Модуль комплексного числа

Число называется модулем
комплексного числа и

обозначается .

Слайд 11

Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Для определения положения точки на

плоскости можно пользоваться полярными координатами ,
где r–расстояние точки от начала координат,
а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой точки с положительным направлением оси Ox.

Слайд 12

Положительным направлением изменения угла φ считается направление против часовой стрелки.

Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат:
, ,
получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

,

Слайд 13

,
φ – аргумент комплексного числа, который находят из формул
или

в силу того, что ,

,

Слайд 14

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить

лишь главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать φ=arg z.

Так как то из формулы получаем, что
- для внутренних точек I, IV четвертей;
- для внутренних точек II четверти;
- для внутренних точек III четверти.

Пример 1. Представить комплексные числа и в тригонометрической форме.

Слайд 15

Решение. Комплексное число z=x+iy в тригонометрической форме имеет вид z=r(cosφ +isinφ),

где

1) z1=1+i (число z1 принадлежит I четверти), x=1, y=1.

Таким образом,

2) (число z2 принадлежит II четверти)

Так как то

Следовательно,

Ответ:

Слайд 16

1) Записать число в тригонометрической форме:
х
у
-2
0
ϕ

Слайд 17

2) Записать число в алгебраической форме:

Слайд 18

Тригонометрическая форма комплексного числа
х
у
М(a,b)
a
b
0
ϕ

Слайд 19

Выполнить №1 и №2
№1 Записать в тригонометрической форме комплексное число

.

.