Метод хорд

самым заложив основу метода хорд. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом. Однако первым, кто понял его методы, был Ферма в XVII веке, а первым, кто дал объяснение методу хорд, был Ньютон(1670-е гг.).

Историческая справка

в разбиении начального отрезка на части, определяемые с помощью точки пересечения хорды – отрезка, соединяющего точки, соответствующие значениям функции на концах отрезка, с осью Ох.

и C2(x2;y2) и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке (x3;0). Теперь найдем значение функции с абсциссой x3. Временно будем считать x3 корнем на отрезке [x1;x2]. Пусть точка C3 имеет абсцисcу x3 и лежит на графике. Теперь вместо точек C1 и C2 мы возьмём точку C3 и точку C2. Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, т.е. будем получать две точки Cn + 1 и Cn и повторять операцию с ними. Таким образом мы будем получать две точки, отрезок, соединяющий которые, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближенно считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока мы не получим значение корня с нужным нам приближением.

+ b − уравнение прямой, содержащей хорду. Найдем коэффициенты k и b из системы уравнений: Вычтем из первого уравнения второе: f(x1) − f(x2) = k(x1 − x2), затем найдем коэффициенты k и b: тогда Уравнение принимает вид:

хорд:
Теперь возьмем координаты x2 и x3 и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Повторять операцию следует до тех пор, пока | xn − xn − 1 | не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

0 методом хорд. Зададимся точностью ε=0.001 и возьмём в качестве начальных приближений x0 и x1 концы отрезка, на котором отделён корень: x0 = 8 и x1 = 3. Вычисления ведутся до тех пор, пока не выполнится неравенство: Итерационная формула метода хорд имеет вид:
По этой формуле последовательно получаем:

x1 выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём для того же уравнения x0 = 8 и x1 = 7. Тогда:

итераций.

n→∞, то есть метод сходится и имеет при этом линейную скорость сходимости. (Сходится со скоростью геометрической прогрессии.)

Критерий сходимости
Если
дважды непрерывно дифференцируемая
функция и знак
сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно. Если корень
уравнения
находится на отрезке [a,b], то производные
И
на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и