Чистые и смешанные стратегии. Характеризация равновесия по Нэшу

Август 5, 2022

Главная
Математика
Чистые и смешанные стратегии. Характеризация равновесия по Нэшу

Содержание

2. Характеризация равновесия по Нэшу ⊐ G = {I ; S ; U}, s∗ ∈ S ;
3. Квазивогнутые функции (quasiconcave) ⊐ F: ℝm → ℝ1. F – квазивогнутая функция, если для ∀ a
4. Теорема (достаточные условия существования равновесия по Нэшу) ⊐ G = {I ; S ; U}; для
5. Неединственность/неоптимальность равновесия по Нэшу
6. Фокальное равновесие по Нэшу
7. Road rules
8. Отсутствие равновесия по Нэшу
9. Lecture vs Cinema III
10. Симплексы ⊐ m ∈ ℕ. Симплекс размерности m – 1 есть S (m – 1) =
11. Чистые и смешанные стратегии (pure and mixed strategies) ⊐ G = {I ; S ; U},
12. Множества и профили смешанных стратегий ⊐ G = {I ; S ; U}, для ∀ i
13. Выигрыши по наборам смешанных стратегий ⊐ σ = (σ1, σ2, …, σn) – профиль смешанных стратегий
14. Смешанное расширение конечной игры (mixed expansion) ⊐ G = {I ; S ; U} – конечная
15. Носитель смешанной стратегии (mixed strategy support) ⊐ G = {I ; S ; U} – конечная
16. Полностью смешанные стратегии (completely mixed strategies) ⊐ G = {I ; S ; U} – конечная
17. Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях (mixed Nash equilibrium) ⊐ G = {I ; S ;
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Характеризация равновесия по Нэшу
⊐ G = {I ; S ; U},

s∗ ∈ S ;
B: S → S – отображение наилучших откликов.
s∗ – равновесие по Нэшу ⇔ s∗ – неподвижная точка отображения наилучших откликов,
т.е. s∗ ∈ B (s∗).

Слайд 3

Квазивогнутые функции (quasiconcave)
⊐ F: ℝm → ℝ1.
F – квазивогнутая функция, если для ∀

a ∈ ℝ1
{x ∈ ℝm | F(x) ≥ a} – выпуклое.

Слайд 4

Теорема (достаточные условия существования равновесия по Нэшу)
⊐ G = {I ; S

; U}; для ∀ i ∈ I ∃mi: Si ⊂ ℝmi.
Если для ∀ i ∈ I
(1) Si непусто, выпукло и компактно;
(2) ui непрерывна;
(3) ui(s1 , s2 , … , sn) квазивогнута по si ;
то NE(G) ≠ ∅.

Слайд 5

Неединственность/неоптимальность равновесия по Нэшу

Слайд 6

Фокальное равновесие по Нэшу

Слайд 7

Road rules

Слайд 8

Отсутствие равновесия по Нэшу

Слайд 9

Lecture vs Cinema III

Слайд 10

Симплексы
⊐ m ∈ ℕ.
Симплекс размерности m – 1 есть
S (m –

1) = {x = (x1 , x2 , … , xm) ∈ ℝm | xj ≥ 0
для ∀j = 1, …, m ; x1 + x2 + … + xm = 1}.

Слайд 11

Чистые и смешанные стратегии (pure and mixed strategies)
⊐ G = {I ;

S ; U}, для ∀ i ∈ I |Si| = mi ∈ ℕ.
⊐ i ∈ I.
Смешанная стратегия σi: Si → [0; 1] ставит в соответствие каждой чистой стратегии si ∈ Si вероятность σi(si) ≥ 0 того, что si будет выбрана, причем

Слайд 12

Множества и профили смешанных стратегий
⊐ G = {I ; S ;

U}, для ∀ i ∈ I |Si| = mi ∈ ℕ.
Для ∀ i ∈ I множество его смешанных стратегий Σi есть симплекс размерности mi – 1.
Набор σ = (σ1, σ2, …, σn) называется профилем смешанных стратегий.
σ ∈ Σ = Σ1 × Σ2 × … ×Σn – пространство смешанных стратегий игры G

Слайд 13

Выигрыши по наборам смешанных стратегий
⊐ σ = (σ1, σ2, …, σn)

– профиль смешанных стратегий для игры G = {I ; S ; U}, i ∈ I .
Выигрыш игрока i, соответствующий профилю σ, есть

Слайд 14

Смешанное расширение конечной игры (mixed expansion)
⊐ G = {I ; S

; U} – конечная игра n игроков;
Σ = Σ1 × Σ2 × … ×Σn , где
Σi – множество смешанных стратегий игрока i ∈ I.
Смешанным расширением игры G называется такая игра Γ = {I ; Σ ; U} , что

Слайд 15

Носитель смешанной стратегии (mixed strategy support)
⊐ G = {I ; S

; U} – конечная игра, i ∈ I ,
Si – множество чистых стратегий игрока i ,
σi ∈ Σi – смешанная стратегия игрока i .
Носителем смешанной стратегии σi называется множество
Si+(σi) = { si ∈ Si | σi(si) > 0 }.

Слайд 16

Полностью смешанные стратегии (completely mixed strategies)
⊐ G = {I ; S

; U} – конечная игра, i ∈ I;
Si – множество чистых стратегий игрока i,
σi ∈ Σi – смешанная стратегия игрока i.
Стратегия σi называется полностью смешанной, если Si+(σi) = Si .

Слайд 17

Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях (mixed Nash equilibrium)
⊐ G = {I

; S ; U} – конечная игра n игроков;
Γ = {I ; Σ ; U} смешанное расширение G ;
σ∗ = (σ∗1 , σ∗2 , … , σ∗n) ∈ Σ = Σ1 × Σ2 × … ×Σn .
Набор стратегий σ∗ называется равновесием по Нэшу в смешанных стратегиях для игры G, если
для ∀ i ∈ I
ui (σ∗i , σ∗–i) ≥ ui (σi , σ∗–i) для ∀ σi ∈ Σi ,
т.е. если σ∗ является равновесием по Нэшу для игры Γ.