Определение.
Если функция y = f (x) имеет производную в каждой точке
не-которого промежутка Х (дифференцируема в каждой точке про-межутка Х, т.е. f (x) ∈ D(x) ∀x ∈ Х или f ∈ D(X)), то говорят, что эта функция дифференцируема на данном промежутке.
Определение.
Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке Х, то функцию называют гладкой (непрерывно диф-ференцируемой) на этом промежутке и пишут: f ∈ C (1) (Х).
Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема.
Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.
Замечание.
Обратное утверждение неверно.
Пример.
Функция y =│x │ непрерывна в точке x = 0, но не имеет в этой точке производной, т.е. не является дифференцируемой.