Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2.10)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2.10)

Содержание

2. Теорема о существовании и единственности решения. Если функция и ее производные непрерывны в окрестности значений то
3. 12.3. Линейные дифференциальные уравнения. 12.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Определение. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка
4. Если непрерывны, то существует единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям. Дифференциальное уравнение можно привести к виду
5. 12.3.2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка без правой части. (**) Считаем, что непрерывны на Тривиальное решение
6. Теорема 2. Если - решения дифференциального уравнения (**) и то общее решение дифференциального уравнения. Доказательство: Покажем,
7. Покажем, что определитель Если это так, то система имеет решение Предположим обратное. Определитель равен нулю. Тогда
8. 12.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью. (***) Теорема. Общее решение дифференциального уравнения (***)
9. 12.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Ищем решение в виде где - действительное
10. 1) действительные числа. Получили два решения дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения - произвольные постоянные.
11. Пример.
12. действительное число. Покажем, что Подставим в уравнение По теореме Виета т.е. Следовательно
13. Пример.
14. 3) Если дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение то каждая из функций и является
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема о существовании и единственности решения.
Если функция и ее производные

непрерывны в окрестности значений
то дифференциальное уравнение
в достаточно малом интервале имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям

Слайд 3

12.3. Линейные дифференциальные уравнения. 12.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Определение. Линейным

дифференциальным уравнением 2-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-й степени относительно неизвестной функции и ее производных
(*)
Функция называется правой частью дифференциального уравнения.
Если то уравнение называется однородным. В противном случае - уравнение называется неоднородным.

Слайд 4

Если непрерывны, то
существует единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Дифференциальное

уравнение
можно привести к виду (*), разделив на
Там, где - особые точки.

Слайд 5

12.3.2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка без правой части. (**)
Считаем, что

непрерывны на Тривиальное решение
Теорема 1. Если - решения дифференциального уравнения (**), то их линейная комбинация также является решением уравнения (**) для любых
Доказательство:
Подставим в уравнение

Слайд 6

Теорема 2.
Если - решения дифференциального
уравнения (**) и то

общее решение дифференциального уравнения.
Доказательство: Покажем, что можно подобрать так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям. Подставим начальные условия в выражения для и
Определитель системы

Слайд 7

Покажем, что определитель
Если это так, то система

имеет решение
Предположим обратное. Определитель равен нулю. Тогда система
при нулевых начальных условиях помимо нулевого, имеет бесконечное множество ненулевых решений. Пусть одно из них. Тогда
Следовательно что противоречит условию.

Слайд 8

12.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью. (***)
Теорема. Общее

решение дифференциального уравнения (***) есть сумма общего решения однородного уравнения (**) и частного решения неоднородного уравнения (***).
Доказательство: Пусть - общее решение одно-родного уравнения, - частное решение неоднород-ного уравнения. Рассмотрим их сумму
Тогда
Следовательно

Слайд 9

12.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Ищем решение в

виде где - действительное или комплексное число.
Подставим в дифференциальное уравнение
Получили характеристическое уравнение
Рассмотрим 3 варианта решения этого уравнения.

Слайд 10

1) действительные числа.
Получили два решения дифференциального уравнения
Общее решение дифференциального уравнения

- произвольные постоянные.

Слайд 11

Пример.

Слайд 12

действительное число.
Покажем, что
Подставим в уравнение
По теореме Виета т.е.
Следовательно

Слайд 13

Пример.

Слайд 14

3)
Если дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение
то

каждая из функций и является решением уравнения.
По формуле Эйлера
Тогда

Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2.10)

Содержание

Теорема о существовании и единственности решения. Если функция и ее производные

12.3. Линейные дифференциальные уравнения. 12.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.Определение. Линейным

Если непрерывны, то существует единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям. Дифференциальное

12.3.2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка без правой части. (**)Считаем, что

Теорема 2. Если - решения дифференциального уравнения (**) и то

Покажем, что определитель Если это так, то система

12.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью. (***)Теорема. Общее

12.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Ищем решение в

1) действительные числа. Получили два решения дифференциального уравненияОбщее решение дифференциального уравнения

Пример.

действительное число. Покажем, что Подставим в уравнениеПо теореме Виета т.е.Следовательно

Пример.

3) Если дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение то

Похожие презентации

Теорема о существовании и единственности решения.
Если функция и ее производные

12.3. Линейные дифференциальные уравнения. 12.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Определение. Линейным

Если непрерывны, то
существует единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Дифференциальное

12.3.2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка без правой части. (**)
Считаем, что

Теорема 2.
Если - решения дифференциального
уравнения (**) и то

Покажем, что определитель
Если это так, то система

12.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью. (***)
Теорема. Общее

12.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Ищем решение в

1) действительные числа.
Получили два решения дифференциального уравнения
Общее решение дифференциального уравнения

действительное число.
Покажем, что
Подставим в уравнение
По теореме Виета т.е.
Следовательно

3)
Если дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение
то