Дифференцирование функции одной переменной

Август 1, 2022

Главная
Математика
Дифференцирование функции одной переменной

Содержание

2. Производная функции Определение. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения
3. Связь дифференцируемости и непрерывности функции Если функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в ней.
4. Пусть f (x) и g (x) − дифференцируемые функции и с − константа, тогда справедливы соотношения
5. Теорема. (Производная сложной функции) Пусть функция g (x) имеет производную в точке x0, функция f (g)
6. Таблица производных
8. Пример Найти производные первого порядка функций Решение. Применим формулу производной суммы Далее используем формулы:
9. Тогда:
10. Решение. Используем правило дифференцирования произведения Далее, по таблице производных имеем: Формула (5): Формула (10):
12. Производная сложной функции. Вычислить производную Решение. Используем формулу В данном случае Тогда:
13. Теорема. (Производная функции, заданной параметрически) Если функция аргумента x задана параметрически: , α ≤ t ≤
14. Пусть функция у = f (x) задана уравнением F (x, y) = 0, не разрешенным относительно
15. Дифференциал функции Пусть функция имеет в точке x производную Тогда где при
16. Причем, Слагаемое - главная часть приращения функции.
17. Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение
20. Правило Лопиталя
22. Монотонность и экстремум функций
27. Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой
28. Уравнения касательной и нормали Уравнение касательной можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку в
29. Уравнение нормали Прямая перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью к кривой. Угловые коэффициенты касательной и
30. Потому уравнение нормали в точке имеет вид: Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым
31. Односторонние производные Определение. Если функция y = f (x) определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки x0
32. Теорема. (Необходимое и достаточное условие существования производной в точке) Функция y = f (x) имеет производную
33. Экономический смысл производной. Эластичность Пусть функция u=u(t) выражает количество произведенной продукции u за время t. Необходимо
34. Средняя производительность труда за этот период времени: Определение. Производительностью труда в момент называется предельное значение средней
35. Определение. Эластичностью функции y=f(x) в точке x называется предел Эластичность функции показывает на сколько процентов изменится
36. Пусть D=D(p) – функция спроса (зависит от цены товара p). Тогда под эластичностью спроса понимается процентное
38. Скачать презентацию

Слайд 2

Производная функции
Определение. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения

приращения функции Δy=f(x+Δx)–f(x) к приращению аргумента Δx при Δx → 0, если этот предел существует и конечен
Для обозначения производной функции используют символы:

Слайд 3

Связь дифференцируемости и непрерывности функции
Если функция дифференцируема в данной точке, то

она непрерывна в ней.
Обратное утверждение неверно, т. е., если функция непрерывна в точке, то она может быть не дифференцируемой в этой точке.
Например, функция непрерывна, но не дифференцируема в точке x = 0.

Слайд 4

Пусть f (x) и g (x) − дифференцируемые функции и с

− константа, тогда справедливы соотношения
1. [c ⋅ f (x)]′ = c⋅ f ′(x) .
2. [ f (x) ± g (x) ]′ = f ′(x) ± g′ (x) .
3. [ f (x) ⋅ g (x) ]′ = f ′(x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g′ (x) .
4. .

Техника дифференцирования

Слайд 5

Теорема. (Производная сложной функции) Пусть функция g (x) имеет производную в

точке x0, функция f (g) имеет производную в точке g0 = g (x0) . Тогда функция f(g(x)) будет иметь производную в точке x0 и справедливо
соотношение .
Теорема. (Производная обратной функции) Пусть
y = f -1(x) − обратная функция к функции x = f (y), имеющей производную в точке y0, причем f ′(y0) ≠0. Тогда обратная функция y = f -1(x) имеет производную в точке x0 = f (y0) ,
причем или .

Слайд 6

Таблица производных

Слайд 7

Слайд 8

Пример
Найти производные первого порядка функций
Решение. Применим формулу производной суммы
Далее используем

формулы:

Слайд 9

Тогда:

Слайд 10

Решение. Используем правило дифференцирования произведения
Далее, по таблице производных имеем:
Формула (5):
Формула

(10):

Слайд 11

Слайд 12

Производная сложной функции. Вычислить производную
Решение. Используем формулу
В данном случае Тогда:

Слайд 13

Теорема. (Производная функции, заданной параметрически)
Если функция аргумента x задана параметрически:
,

α ≤ t ≤ β ,
где ϕ(t) и ψ(t) – дифференцируемы, причем ϕ ′(t) ≠ 0 , то производная этой функции по переменной x вычисляется по формуле
, x=ϕ(t).

Слайд 14

Пусть функция у = f (x) задана уравнением F (x, y)

= 0, не разрешенным относительно y. В этом случае говорят, что функция y задана неявно.
Пусть уравнение F (x, y) = 0 задает y как неявную функцию от x, т. е. y = f (x). Предположим, что функция y дифференцируема. Если в уравнении F (x, y) = 0 под y подразумевать функцию y (x), то это уравнение обращается в тождество по аргументу x: F (x, y (x)) = 0.
Для нахождения производной y′(x) нужно продифференцировать по x обе части, помня, что y есть функция от x, и затем разрешить полученное новое уравнение относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть от x и y: y′ (x) = ϕ (x, y).

Слайд 15

Дифференциал функции
Пусть функция имеет в точке x
производную
Тогда
где при

Слайд 16

Причем,
Слагаемое - главная часть приращения функции.

Слайд 17

Определение. Дифференциалом функции
в точке называется главная часть приращения функции,

равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается :
Так как дифференциал независимой переменной x равен приращению этой переменной: , то

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Правило Лопиталя

Слайд 21

Слайд 22

Монотонность и экстремум функций

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26

Слайд 27

Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику

функции в точке с абсциссой

Геометрический смысл производной

Слайд 28

Уравнения касательной и нормали
Уравнение касательной можно найти, используя уравнение прямой,

проходящей через данную точку в заданном направлении
А так как то
уравнение касательной.

Слайд 29

Уравнение нормали
Прямая перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью к кривой.
Угловые

коэффициенты касательной и нормали связаны условием перпендикулярности:

Слайд 30

Потому уравнение нормали в точке
имеет вид:
Углом между кривыми называют угол

между касательными к кривым в точке их пересечения.

Слайд 31

Односторонние производные
Определение. Если функция y = f (x) определена в

левосторонней (правосторонней) окрестности точки x0 и существует

то он называется производной от функции в точке x0 слева, а

производной в той же точке справа.

Слайд 32

Теорема. (Необходимое и достаточное условие существования производной в точке)
Функция y =

f (x) имеет производную в точке тогда и только тогда когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции слева и справа, причем
.
Теорема. (Связь между дифференцируемостью функции в точке и ее непрерывностью в этой точке)
Если функция y = f (x) имеет производную в точке x0 , то она в этой точке непрерывна.

Слайд 33

Экономический смысл производной. Эластичность
Пусть функция u=u(t) выражает количество произведенной продукции u

за время t. Необходимо найти производи-тельность труда в момент времени
За период времени от до
количество произведенной продукции изменится от до

Слайд 34

Средняя производительность труда за этот период времени:
Определение. Производительностью труда в момент

называется предельное значение средней производительности за период времени от до при

Слайд 35

Определение. Эластичностью функции y=f(x) в точке x называется предел
Эластичность функции показывает

на сколько процентов изменится зависимая переменная y, если независимая переменная x получит приращение в 1%.
В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса.

Слайд 36

Пусть D=D(p) – функция спроса (зависит от цены товара p). Тогда

под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены товара на 1%.
Различают следующие виды спроса:
Если |E(D)|>1, то спрос считается эластичным;
Если |E(D)|=1, то спрос нейтрален;
Если |E(D)|<1, то спрос неэластичен;
Если E(D)=0, то спрос совершенно неэластичен.

Дифференцирование функции одной переменной

Содержание

Производная функции Определение. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения

Связь дифференцируемости и непрерывности функции Если функция дифференцируема в данной точке, то

Пусть f (x) и g (x) − дифференцируемые функции и с

Теорема. (Производная сложной функции) Пусть функция g (x) имеет производную в

Таблица производных

Пример Найти производные первого порядка функций Решение. Применим формулу производной суммыДалее используем

Тогда:

Решение. Используем правило дифференцирования произведения Далее, по таблице производных имеем:Формула (5):Формула

Производная сложной функции. Вычислить производнуюРешение. Используем формулу В данном случае Тогда:

Теорема. (Производная функции, заданной параметрически) Если функция аргумента x задана параметрически:,

Пусть функция у = f (x) задана уравнением F (x, y)

Дифференциал функции Пусть функция имеет в точке x производнуюТогдагде при

Причем,Слагаемое - главная часть приращения функции.

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции,