Формула полной вероятности

Июль 24, 2022

Главная
Математика
Формула полной вероятности

Содержание

2. Лекция 3. Основные изучаемые вопросы: Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение опытов.
3. Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Она позволяет определять вероятность некоторого события,
4. Пусть рассматривается полная группа попарно несовместных событий, т. е. выполняются условия А1 +А2 +...+ Ап =
5. Подчеркнем: поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то сумма вероятностей гипотез равна единице: Условные вероятности появления
6. Пример. На сборку поступают детали с трех станков, производительности которых соотносятся, как 2:3:5. Брак в продукции
7. Событие В – случайно выбранная из общей продукции деталь не является браком - происходит одновременно с
8. Формула Байеса или теорема гипотез является следствием формулы полной вероятности и теоремы умножения вероятностей. Она дает
9. Если уже наступило рассматриваемое некоторое событие В, происходящее с одним из событий Аi, образующих полную группу
10. Пример. Наборщик типографии использует два набора шрифтов одинакового объема, при этом в первом наборе 80 %,
11. Событие В - наудачу взятая литера отличного качества - происходит одновременно с одним из событий Аi.
12. Пример. Вертолет осуществляет поиск льдины с рыбаками в заданном районе моря, где по метеонаблюдениям в 60
13. По той же формуле Байеса для апостериорной вероятности гипотезы А2 получаем: Из этого следует: тот факт,
14. Формула Байеса находит широкое применение при создании систем распознавания образов и самообучающихся систем, используемых в робототехнике.
15. где Р(А0), Р(А1) - априорные вероятности, P(Z /А0), P(Z /А1) - правдоподобия решений. Разделим числитель и
16. Это означает, что исследуемая система S в первом случае принимает решение А0, а во втором случае
17. При наблюдении за результатами опытов будет накапливаться информация в виде частоты Р*(А0/Z), которая с ростом числа
18. Повторение опытов Повторение опытов связано с задачами, в которых осуществляется последовательность независимых опытов, в каждом из
19. Первый случай Независимые опыты проводятся в одинаковых условиях, поэтому вероятность появления события А в каждом опыте
20. 2. Производятся стендовые испытания п однотипных агрегатов на надежность в течение времени t. Вероятность безотказной работы
21. Пример. Производятся четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью р = 0,60 может произойти
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Лекция 3.
Основные изучаемые вопросы:
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Повторение опытов.

Слайд 3

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Она

позволяет определять вероятность некоторого события, которое может происходить в различных ситуациях с разной вероятностью, причем вероятности этих ситуаций можно оценить до опыта, а условные вероятности появления рассматриваемого события при каждой сложившейся ситуации должны быть известны.
С учетом этого искомая вероятность определяется как «средневзвешенная» вероятность, а «весами» при этом являются вероятности ситуаций, при которых данное событие может происходить.
Пример: дождь может пойти с вероятностью Р(А) и не пойти с вероятностью Р(А) (ситуация характеризуется вероятностью дождя. При наличии дождя вероятность грома Р(В/А), а при его отсутствии, очевидно, такая вероятность Р(В/А).

Формула полной вероятности

Слайд 4

Пусть рассматривается полная группа попарно несовместных событий, т. е. выполняются условия

А1 +А2 +...+ Ап = Ω,
Аi·Aj = ∅ для всех i≠ j, и некоторое событие В, которое может осуществиться одновременно только с одним из Ai.
Говорят еще, что об обстановке проведения опыта можно сделать п исключающих друг друга предположений Аi, называемых гипотезами.
Вероятность Р(В) события В, которое может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А1, А2, … Аn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий А1, А2, … Аn на соответствующие условные вероятности события В:

Слайд 5

Подчеркнем: поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то сумма вероятностей гипотез

равна единице:
Условные вероятности появления события В при i-той гипотезе обозначают
P(B/Ai).
«Взвешенную» вероятность события В при i-той гипотезе определяют как
P(B/Ai)·Р(Аi).
Сумма «взвешенных» вероятностей дает вероятность события В с учетом всех гипотез А1….Аn
Р(В) = P(B/A1)·Р(А1) + P(B/A1)·Р(А1) + ….+ P(B/An)·Р(Аn).

Слайд 6

Пример. На сборку поступают детали с трех станков, производительности которых соотносятся,

как 2:3:5. Брак в продукции этих станков составляет 2 %, 1 % и 3 %, соответственно. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь из общей продукции автоматов не является бракованной.
Решение.
Обозначим события:
А1 - деталь изготовлена первым автоматом;
А2 - деталь изготовлена вторым автоматом;
А3 - деталь изготовлена третьим автоматом.
Вероятности этих событий
Эти события составляют полную группу попарно несовместных событий, так как никакие два из этих событий не могут произойти одновременно.

Слайд 7

Событие В – случайно выбранная из общей продукции деталь не является

браком - происходит одновременно с одним из событий Ai. Условные вероятности события В согласно условию задачи:
Р(В/А1) = 1 - 0,02 = 0,98;
Р(В/А2) = 1 - 0,01 = 0,99;
Р(B/A3) = 1 - 0,03 = 0,97.
По формуле полной вероятности:
Р(В) = Р(А1)Р(В/А1) + Р(А2)Р(В/А2) + Р(А3)Р(В/А3) =
= 0,2·0,98 + 0,3·0,99 + 0,5·0,97 = 0,978.

Слайд 8

Формула Байеса или теорема гипотез является следствием формулы полной вероятности и

теоремы умножения вероятностей. Она дает возможность пересчитать «априорные» (имевшиеся до проведения опыта) вероятности гипотез Р(Аi) с учетом результата проведенного опыта, то есть определять так называемые «апостериорные» (после опыта) вероятности Р(Аi/В).
Пусть об условиях опыта, в котором может произойти событие В, можно сделать ряд взаимоисключающих гипотез
А1, А2, …, Аn.
Гипотезы образуют полную группу событий

Формула Байеса

Слайд 9

Если уже наступило рассматриваемое некоторое событие В, происходящее с одним из

событий Аi, образующих полную группу несовместных событий, причем известны вероятности этих гипотез до испытания P(Ai), а также вероятности, сообщаемые ими событию P(B/Ai), то можно рассчитать вероятности гипотез Аi после того, как событие В произошло.
Вероятность Р(Аi/В) гипотезы Ai при условии, что событие В произошло (апостериорная вероятность гипотезы):
Формула Байеса, таким образом, дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта по мере получения новой информации.

Слайд 10

Пример. Наборщик типографии использует два набора шрифтов одинакового объема, при этом

в первом наборе 80 %, а во втором – 70 % отличного шрифта. Наудачу извлеченная литера оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта литера взята из второго набора.
Решение.
Обозначим события:
А1 - литера извлечена из первого набора;
А2 - литера извлечена из второго набора.
Так как по условию наборы шрифтов имеют одинаковый объем, то вероятности событий:
Р(А1) = Р(А2) = 0,5.
Эти события составляют полную группу попарно несовместимых событий, так как они не могут произойти одновременно, и сумма их вероятностей равна 1.

Слайд 11

Событие В - наудачу взятая литера отличного качества - происходит одновременно

с одним из событий Аi. Условные вероятности события В согласно условию задачи:
Р(B/А1) = 0,8;
Р(B/А2) = 0,7.
В задаче требуется переоценить вероятность события А2 при условии, что событие В произошло. По формуле Байеса

Слайд 12

Пример. Вертолет осуществляет поиск льдины с рыбаками в заданном районе моря,

где по метеонаблюдениям в 60 % всех случаев в это время года бывает облачная погода, а в 40 % случаев – малооблачная погода. Вероятность обнаружения льдины с рыбаками в хорошую погоду составляет Р1 = 0,9, а в случае плохой погоды – Р2 = 0,6.
Определить апостериорные вероятности Р(B/А1) и Р(B/А2), считая, что обнаружение рыбаков (событие В) произошло.
Решение
Определяем вероятность события В по «доопытным» данным:
Р(В) = Р(А1)·Р(B/А1) + Р(А2)·Р(B/А2) = 0,4·0,9 + 0,6·0,6 = 0,72.
По формуле Байеса апостериорная вероятность гипотезы А1

Слайд 13

По той же формуле Байеса для апостериорной вероятности гипотезы А2 получаем:
Из

этого следует: тот факт, что событие В произошло в результате опыта, повлиял на изменение априорных вероятностей гипотез: первая увеличилась с 0,4 до 0,5, а вторая уменьшилась с 0,6 до 0,5. Причина этого - более высокая условная вероятность обнаружения рыбаков в хорошую погоду Р(B/А1) = 0,9 по сравнению с Р(B/А2) = 0,6.

Слайд 14

Формула Байеса находит широкое применение при создании систем распознавания образов и

самообучающихся систем, используемых в робототехнике. Такие системы способны принимать решение о дальнейшем поведении (робота) - делать выбор из множества альтернативных решений - на основании анализа поступающей информации с последующей переоценкой априорных вероятностей (вычисление и анализ апостериорных вероятностей).
Рассмотрим простейший пример применения так называемого Байесовского подхода к построению самообучающихся систем.
Пусть система S на основании поступающей информации Z должна выбрать одно из двух альтернативных решений А0 или А1.
Апостериорная вероятность правильности решения А0, зависящего от информации Z о результатах опыта, может быть представлена в виде:

Слайд 15

где Р(А0), Р(А1) - априорные вероятности,
P(Z /А0), P(Z /А1) - правдоподобия

решений.
Разделим числитель и знаменатель правой части равенства на P(Z /А0) ≠ 0 . Отношение правдоподобия обозначим
Тогда получим следующее выражение для Р(A0/Z):
Проанализируем полученный результат.
Пусть Р(A0) = 1, Р(А1) = 0. Тогда апостериорная вероятность Р(A0 / Z) = 1.
Если, наоборот, Р(A0) = 0, Р(А1) = 1, то апостериорная вероятность Р(A0 / Z) = 0.

Слайд 16

Это означает, что исследуемая система S в первом случае принимает решение

А0, а во втором случае - решение А1.
Таким образом, наличие информации Z о результатах опытов не оказывает никакого влияния на процесс принятия решения системы S - система не имеет тенденции к самообучению, а отношение правдоподобия в данном случае не играет роли.
Если отношение правдоподобия (3.6.9) равно единице L = 1, то апостериорная вероятность равна априорной вероятности
P(А0 / Z) = P(А0),
следовательно, поступающая информация Z не влияет на принятие решения.
Чем больше отношение правдоподобия L отличается от единицы, тем в большей степени наблюдается отличие апостериорной и априорной вероятностей, тем сильнее влияние поступающей информации Z на принятие решения А0.

Слайд 17

При наблюдении за результатами опытов будет накапливаться информация в виде частоты

Р*(А0/Z), которая с ростом числа опытов п будет сходиться по вероятности к вероятности Р(А0/Z). Следовательно, в данном случае накопление информации Z о результатах опытов влияет на принятие решения.
Таким образом, при отсутствии информации Z о результатах опытов система S руководствуется при принятии решения лишь априорными вероятностями Р(А0) и P(А1).
По мере накопления информации Z о результатах опытов система S «самообучается» и корректирует свое поведение в зависимости от Z. Система, "прошедшая обучение", принимает решение, руководствуясь апостериорными вероятностями Р(А0/Z) и Р(А1/Z), которые зависят от Z - информации, получаемой по результатам опытов.

Слайд 18

Повторение опытов
Повторение опытов связано с задачами, в которых осуществляется последовательность независимых

опытов, в каждом из которых может произойти (или не произойти) некоторое событие А, вероятность которого известна. Задача заключается в определении вероятности появления события А ровно т раз в п независимых опытах, которая в дальнейшем будет обозначаться через Рт,п (т = 0...п).
Опыты со случайным исходом называются независимыми, если вероятность исхода того или иного опыта не зависит от исходов других опытов. В противном случае опыты будут зависимыми.
Рассмотрим два случая определения вероятности Рт,п .

Слайд 19

Первый случай
Независимые опыты проводятся в одинаковых условиях, поэтому вероятность появления события

А в каждом опыте одинакова и равна Р(А) = р, а вероятность непоявления события А (появления противоположного события А) равна
Р(А) = 1 - р = q .
Такая последовательность опытов (испытаний) носит название "испытания Бернулли". Требуется определить вероятность Рт,п появления события А ровно т раз в п опытах (т = 0, ..., n).
Примеры задач, связанных с испытаниями Бернулли.
1. Производится п бросаний симметричной монеты на гладкую поверхность стола. При каждом бросании герб (цифра) может появиться с одной и той же вероятностью р = 0,50 . Требуется определить вероятность Рт,п появления герба (цифры) ровно т раз из п бросаний (т = 0, ..., n).

Слайд 20

2. Производятся стендовые испытания п однотипных агрегатов на надежность в течение

времени t. Вероятность безотказной работы одного агрегата p(t) известна и одинакова для всех агрегатов.
Требуется определить вероятность Рm,п того, что все п агрегатов успешно пройдут стендовые испытания.
3. Производится стрельба в тире по мишени п выстрелами с индивидуальным прицеливанием при каждом выстреле с одной дистанции. Вероятность попадания в "десятку" для данного стрелка оценивается величиной р.
Требуется определить вероятность Рт,п попадания в "десятку" т раз при п выстрелах (т = 0...п).
Вероятность Рт,п появления события А т раз в n независимых опытах определяется выражением (формулой Бернулли)

Слайд 21

Пример. Производятся четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью

р = 0,60 может произойти событие А. Определить вероятность появления события А не менее трех раз.
Решение. Обозначим В - событие, состоящее в появлении события А не менее трех раз в четырех независимых опытах. Тогда вероятность события В определяется как сумма вероятностей появления события А три или четыре раза:
Р(В) = Р3,4+Р4,4.
По формуле Бернулли получим решение задачи:

Формула полной вероятности

Содержание

Лекция 3. Основные изучаемые вопросы:Формула полной вероятности. Формула Байеса.Повторение опытов.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Она

Пусть рассматривается полная группа попарно несовместных событий, т. е. выполняются условия

Подчеркнем: поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то сумма вероятностей гипотез

Пример. На сборку поступают детали с трех станков, производительности которых соотносятся,

Событие В – случайно выбранная из общей продукции деталь не является

Формула Байеса или теорема гипотез является следствием формулы полной вероятности и

Если уже наступило рассматриваемое некоторое событие В, происходящее с одним из

Пример. Наборщик типографии использует два набора шрифтов одинакового объема, при этом

Событие В - наудачу взятая литера отличного качества - происходит одновременно

Пример. Вертолет осуществляет поиск льдины с рыбаками в заданном районе моря,

По той же формуле Байеса для апостериорной вероятности гипотезы А2 получаем:Из

Формула Байеса находит широкое применение при создании систем распознавания образов и

где Р(А0), Р(А1) - априорные вероятности, P(Z /А0), P(Z /А1) - правдоподобия

Это означает, что исследуемая система S в первом случае принимает решение

При наблюдении за результатами опытов будет накапливаться информация в виде частоты

Повторение опытовПовторение опытов связано с задачами, в которых осуществляется последовательность независимых

Первый случайНезависимые опыты проводятся в одинаковых условиях, поэтому вероятность появления события

2. Производятся стендовые испытания п однотипных агрегатов на надежность в течение

Пример. Производятся четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью

Похожие презентации

Лекция 3.
Основные изучаемые вопросы:
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Повторение опытов.

По той же формуле Байеса для апостериорной вероятности гипотезы А2 получаем:
Из

где Р(А0), Р(А1) - априорные вероятности,
P(Z /А0), P(Z /А1) - правдоподобия

Повторение опытов
Повторение опытов связано с задачами, в которых осуществляется последовательность независимых

Первый случай
Независимые опыты проводятся в одинаковых условиях, поэтому вероятность появления события