Funktsiooni uurimine

x väärtuste hulk

NB!
Määramispiirkonda ei kuulu näiteks
Nimetajate nullkohad
Paarisarvulise juure all oleva avaldise negatiivsuspiirkonda kuuluvad argumendi väärtused
Logaritmitavate negatiivsuspiirkonnad ja nullkohad

väärtuste y hulk

Funktsiooni muutumispiirkonda saab leida funktsiooni pöördfunktsiooni abil.
Funktsiooni muutumispiirkonnaks on selle funktsiooni pöördfunktsiooni määramispiirkond.

nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks.

Selleks, et teha kindlaks funktsiooni nullkohtade hulk X0, tuleb
lahendada võrrand: f(x)=0
kirjutada välja nullkohtade hulk X0, mis koosneb kõikidest nullkohtadest

need argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärus on positiivne (negatiivne).

Selleks, et leida funktsiooni positiivsuspiirkond X +, tuleb lahendada võrratus: f(x)>0

Selleks, et leida funktsiooni negatiivsuspiirkond X -, tuleb lahendada võrratus: f(x)<0

NB!
Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonda on lihtsam leida uurides funktsiooni väärtuse märki arvkiirel !

et leida funktsiooni ekstreemumkohti, tuleb
1) lahendada võrrand: f ´(x)=0
2) leida argumendi väärtused, mille korral funktsiooni tuletis puudub
3) Uurida saadud kohtade ümbruses funktsiooni tuletise märki

Kohal x0 on funktsioonil
maksimum, kui funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks
miinimum, kui funktsiooni kahanemine läheb üle kasvamiseks.
ekstreemum puudub, kui funktsiooni tuletis antud kohal märki ei muuda

NB! Ekstreemumi liiki saab uurida ka teise tuletise abil
Kui f ´(x)=0 ja f ´´(x0)<0, siis on x0 y=f(x) maksimumkoht
Kui f ´(x)=0 ja f ´´(x0)>0, siis on x0 y=f(x) miimimumkoht

kasvavaks (kahanevaks), kui f ´(x)>0 (f ´(x)<0) selles vahemikus

Kui funktsiooni tuletis mingi x0 korral puudub, siis tuleb uurida funktsiooni tuletise märki ka selle koha ümbruses

NB!
Kasvamis- ja kahanemisvahemikke on lihtsam leida uurides funktsiooni tuletise märki arvkiirelt!

kumeraks (nõgusaks) vahemikus ]a;b[, kui ükski tema punkt selles vahemikus ei ole kõrgemal (allpool) ühestki tema puutujast selles vahemikus

Selleks, et leida funktsiooni kumerusvahemikud X , tuleb lahendada võrratus: f ´´(x)<0

Selleks, et leida funktsiooni nõgususvahemikud X , tuleb lahendada võrratus: f ´´(x)>0

NB!
Kumerus- ja nõgususvahemikke on lihtsam leida uurides funktsiooni teise tuletise märki arvkiirel!

Lisaks kuuluvad vastavasse kumerus- või nõgususvahemikku ka kohad, kus
f ´´(x)=0 ja teine tuletis ei muuda märki.

graafiku läbiminekul muutub kumerus nõgususeks või vastupidi.

Selleks, et leida funktsiooni käänukohti, tuleb
1) lahendada võrrand: f ´´(x)=0
2) leida argumendi väärtused, mille korral funktsiooni teine tuletis puudub
3) Uurida saadud kohtade ümbruses funktsiooni teise tuletise märki

Kohal x0 on funktsioonil
käänukoht, kui funktsiooni teine tuletis muudab märki.
Kui funktsiooni teine tuletis antud kohal märki ei muuda, siis sellel
kohal käänukoht puudub.

X
2. Muutumispiirkond Y
3. Nullkohtade hulk X0 : f(x)=0
4. Funktsiooni positiivsuspiirkond X + : f(x)>0
Funktsiooni negatiivsuspiirkond X -: f(x)<0
5. Funktsiooni ekstreemumkohtade hulk Xe: f ´(x)=0
funktsiooni ekstreemumpunktid Pe(xe;ye)
6. Funktsiooni kasvamisvhemikud : f ´(x)>0
Funktsiooni kahanemisvahemikud : f ´(x)<0
7.* Funktsiooni graafiku käänukohtade hulk Xk: f ´´(x)=0
funktsiooni käänupunktid K(xk;yk)
8.* Funktsiooni kumerusvahemikud : f ´´(x)<0
Funktsiooni nõgususvahemikud : f ´´(x)>0
9. Skitseerida funktsiooni graafik

skitseeri funktsiooni graafik

1. Määramispiirkond X
2. Muutumispiirkond Y
3. Nullkohtade hulk
x(x2 -6x +8)=0 ehk x(x-2)(x-4)=0
x1=0; x2=2; x3=4
X0={0; 2; 4}
4. Funktsiooni positiivsus- X + ja negatiivsusvahemikud X -
X + =]0; 2[ U ]4; [
X - =] - ;0[U]2; 4[

=R

=R

y=f(x)

X0 : f(x)=0

X + : f(x)>0; X -: f(x)<0

+

_

+

_

Funktsiooni kasvamisvhemikud X ja kahanemisvahemikud X
X =]- ;0,9[ U ]3,2; [; X =]0,9;3,2[
7. Funktsiooni graafiku käänukohtade hulk Xk
f ´´(x)=6x-12 6x-12 =0
xk=2
yk=23 - 6 22 + 8 2 = 0
Xk={2}; K(2;0)
8. Funktsiooni kumerusvahemikud ja nõgusus vahemikud
=]- ;2[; =]2; [

Xe: f ´(x)=0

_

+

+

Xk: f ´´(x)=0

+

_