Исследование функций при помощи производной

и убывания.

У

Х

a

b

c

d

e

Для этого проведем касательные на соответствующих промежутках.

Знаем: если угол с положительным направлением Ох острый – производная в данной точке положительна; если тупой - отрицательна.

-

-

-

+

+

+

проведем касательные в соответствующих точках.

Видим: касательные, проведенные в соответствующих точках параллельны Ох.

Угловой коэффициент таких касательных =0. Следовательно производная в этих точках равна нулю.

равна нулю?

У

Х

k

В точке k касательная параллельна Ох (производная равна нулю), но экстремума нет.

Назовем внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю стационарными.

a

b

c

d

e

равна нулю?

У

Х

l

В точке l касательную провести нельзя.

Тем не менее в ней существует минимум.

Назовем внутренние точки области определения, в которых производная не существует критическими.

равна нулю?

У

Х

Для того, чтобы во внутренней точке области определения существовал экстремум необходимо и достаточно, чтобы производная функции в этой точке изменила знак.

точки.

Сумма точек – подразумевается сумма абсцисс точек.

не существует
в точке а и меняет знак

f(x) имеет максимум точке а
а- внутренняя точка D(f)

f´(x) меняет знак с плюса на минус
в точке а

f(x) имеет минимум точке а
а- внутренняя точка D(f)

f´(x) меняет знак с минуса на плюс
в точке а

(-8;10).  Определите количество точек, в которых производная функции f(х) положительна.

f’(x)>0, если функция возрастает. За исключением точек экстремума. В них производная равна нулю. Определим промежутки возрастания функции без вышеуказанных точек.

Подсчитаем количество целых точек на этих промежутках.

(-8;10).  Определите количество точек, в которых производная функции f(х) отрицательна.

f’(x)<0, если функция убывает. За исключением точек экстремума. В них производная равна нулю. Определим промежутки убывания функции без вышеуказанных точек.

Подсчитаем количество целых точек на этих промежутках.

интервале (-8;10).  Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Условие возрастания функции f(х) на промежутке: f´(х)≥0

Подсчитаем сумму целых точек на этих промежутках.

Определим промежутки, на которых производная функции принимает неотрицательные значения (график не ниже Ох).

-7+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+9=

7

интервале (-8;10).  Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Условие убывания функции f(х) на промежутке: f´(х)≤0

Подсчитаем сумму целых точек на этих промежутках.

Определим промежутки, на которых производная функции принимает неположительные значения (график не выше Ох).

-7+(-6)+(-5)+(-4)+5+6+7+8+9=

13

(-8;10).  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=2.

Прямая у=2 параллельна Ох, следовательно и касательные параллельны Ох.

Подсчитаем количество таких точек (касательных).

Проведем такие касательные (в точках экстремума).

интервале (-8;10).  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=2х+3 или совпадает с ней.

Так как касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у=2х+3 или совпадает с ней, то она имеет такой же угловой коэффициент =2

Определим, сколько раз производная принимает значение = 2.

Следовательно, значение производной в точках касания =2 (геометрический смысл производной).

2

интервале (-8;10).  Найдите количество точек экстремума функции на отрезке [-5;7].

Условие экстремума: производная меняет знак.

Следовательно, ищем точки пересечения графика производной с Ох на заданном промежутке.

(-8;10).  Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке [-5;7].

В точке экстремума меняется характер монотонности функции (возрастание сменяется на убывание и наоборот).

Найдем такие точки на заданном промежутке.

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

Подсчитаем сумму их абсцисс.

-2+0+2=0

(-8;10).  Найдите количество точек максимума функции на отрезке [-6;6].

В точке максимума возрастание сменяется на убывание.

Найдем такие точки на заданном промежутке.

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

интервале (-8;10).  Найдите количество точек максимума функции на интервале (-3;4).

Условие максимума функции: производная меняет знак с плюса на минус.

На графике производной ищем такие точки на заданном промежутке (неформально: график производной уходит под Ох).

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

интервале (-8;10).  Найдите количество точек минимума функции на отрезке [-7;8].

Условие минимума функции: производная меняет знак с минуса на плюс.

На графике производной ищем такие точки на заданном промежутке (неформально: график производной выходит из под Ох).

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

(-8;10).  Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Определим промежутки возрастания функции.

Наибольший промежуток возрастания имеет длину =4.

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

интервале (-8;10).  Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Условие возрастания функции f(х) на промежутке: f´(х)≥0

Наибольший промежуток имеет длину 9.

Определим промежутки, на которых производная функции принимает неотрицательные значения (график производной не ниже Ох).

(-8;10).  Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Определим промежутки убывания функции.

Наибольший отрезок убывания имеет длину =5.

интервале (-8;10).  Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите длину наименьшего из них.

Условие убывания функции f(х) на промежутке: f´(х)≤0

Наименьший промежуток имеет длину =3.

Определим промежутки, на которых производная функции принимает неположительные значения (график не выше Ох).

интервале (-8;10).  В какой точке отрезка [1;6] функция принимает наибольшее значение?

На заданном промежутке производная функции в одной точке меняет знак с плюса на минус.

Если функция на промежутке имеет одну точку максимума, то именно в ней она достигает наибольшего значения.

Следовательно имеет один максимум на этом промежутке.

5

интервале (-8;10).  В какой точке отрезка [-5;4] функция принимает наименьшее значение?

На заданном промежутке производная функции в одной точке меняет знак с минуса на плюс.

Если функция на промежутке имеет одну точку минимума, то именно в ней она достигает наименьшего значения.

Следовательно имеет один минимум на этом промежутке.

5

-4

интервале (-8;10).  В какой точке отрезка [-3;2] функция принимает наименьшее значение?

На заданном промежутке производная функции всегда положительна (график производной выше Ох).

Если функция на промежутке только возрастает, то наименьшее значение она принимает при наименьшем значении х из этого промежутка.

Следовательно функция f(х) на этом промежутке только возрастает.

5

-3

интервале (-8;10).  В какой точке отрезка [6;8] функция принимает наименьшее значение?

На заданном промежутке производная функции всегда отрицательна(график производной ниже Ох).

Если функция на промежутке только убывает, то наименьшее значение она принимает при наибольшем значении х из этого промежутка.

Следовательно функция f(х) на этом промежутке только убывает.

5

8