Конформные отображения

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Конформные отображения

Содержание

3. Выберем на кривой γ1 точку z0+Δz, которая отображается в точку w0+Δw на кривой Г1. Комплексное число
4. Пусть так, чтобы точка z0+Δz оставалась на кривой γ1, тогда так, что точка w0+Δw будет перемещаться
5. где - углы, образованные векторами, изображающими числа Δz, Δw с осью х. Пределы величин ArgΔz и
6. Аналогично, если точка z0+Δz стремится к точке z0 по кривой γ2, то Тогда
7. - угол между касательными к кривым γ1 и γ2 в точке z0. - угол между касательными
8. Угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, в которой производная отображающей функции отлична от нуля, сохраняется
9. геометрический смысл аргумента производной функции Если совместить плоскости z и w так, чтобы совпали точки z0
10. Выясним геометрический смысл модуля производной. - расстояние от точки z0 до точки Δz+z0. - расстояние от
11. Величина являющаяся пределом отношения при называется коэффициентом растяжения в точке z0. Если то в окрестности точки
12. геометрический смысл модуля производной функции В силу аналитичности функции f(z) величина не зависит от закона стремления
13. Отображение, обладающее свойством постоянства углов и свойством постоянства коэффициента растяжения в каждой точке, называется конформным отображением
14. Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых производная этой функции отлична от
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Слайд 3

Выберем на кривой γ1 точку z0+Δz, которая отображается в точку w0+Δw

на кривой Г1.
Комплексное число Δz изображается вектором

а число Δw - вектором

Т.к. функция w=f(z) - аналитична в точке z0, то

Слайд 4

Пусть
так, чтобы точка z0+Δz
оставалась на кривой γ1, тогда
так, что

точка w0+Δw будет перемещаться по кривой Г1.
Если существует

то будут существовать и пределы

Слайд 5

где
- углы, образованные векторами, изображающими числа Δz, Δw с осью х.

Пределы величин ArgΔz и ArgΔw равны, соответственно, углам φ1 и Ф1.

Слайд 6

Аналогично, если точка z0+Δz стремится к точке z0 по кривой γ2,

то

Тогда

Слайд 7

- угол между касательными к кривым γ1 и γ2 в

точке z0.

- угол между касательными к кривым Г1 и Г2 в точке w0.

Слайд 8

Угол между двумя кривыми, пересекающимися
в точке, в которой производная
отображающей функции

отлична от нуля,
сохраняется по величине и направлению.

Слайд 9

геометрический смысл аргумента производной функции
Если совместить плоскости z и w так,

чтобы
совпали точки z0 и w0, а ось х совпала с осью u,
то, чтобы касательная к кривой γ1 совпала с
касательной к Г1, эту конфигурацию надо
повернуть на угол

Слайд 10

Выясним геометрический смысл модуля производной.
- расстояние от точки z0 до точки

Δz+z0.

- расстояние от точки w0 до точки Δw+w0.

Следовательно, величина

указывает, в каком отношении в результате отображения меняется величина расстояния между точками.

Слайд 11

Величина
являющаяся пределом отношения
при
называется коэффициентом растяжения в точке z0.
Если
то в окрестности

точки z0 расстояние между точками увеличивается, и наоборот.

Слайд 12

геометрический смысл модуля производной функции
В силу аналитичности функции f(z) величина
не зависит

от закона стремления

поэтому коэффициент растяжения в данной точке постоянен.

Слайд 13

Отображение, обладающее свойством
постоянства углов и свойством
постоянства коэффициента растяжения
в каждой точке,

называется конформным
отображением 1 рода.

Слайд 14

Отображение, осуществляемое
аналитической функцией, является
конформным во всех точках, в которых
производная этой функции

отлична от нуля.

Верно и обратное утверждение:

Если отображение, осуществляемое
функцией, конформно в
некоторой области, то эта функция
является аналитической в данной области.