Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы

это прямые, которые задаются уравнением второй степени.
Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.
Кривая второго порядка на плоскости определяется уравнением второй степени с двумя переменными, причем единственным образом:
Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Ey+F=0, где А, В, С, D, E, F – числа, но А, В и С одновременно не равны нулю ?

заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости – по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

до двух заданных точек плоскости F1 и F2 (называемых фокусами) есть величина постоян-ная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса:
Числа а, b и с связаны между собой равенством:
а2 − b2 = с2 или b2 − a2 = с2.
Выберем систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O: F1 (-с; 0) и F2 (с; 0).

ЭЛЛИПС

большой (фокальной) осью, его дли-на 2a; отрезок B1B2 – малой осью, его длина 2b. Ве-личины a и b называются большой и малой полу-осью соответственно. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием.
Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M.

y=±b.
2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).

Величина ε, равная отношению фокусного расстоя-ния эллипса к его большой оси, называется эксцентри-ситетом эллипса:

Величина ε характеризует форму эллипса:
ε≈1 – эллипс сильно вытянут
ε≈0 – эллипс имеет более округлую форму
ε=0 – эллипс вырождается в окружность х2 + у2 = r2 .

на оси Oy на одинако-вом расстоянии от начала координат, то урав-нение эллипса будет иметь вид:

Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox, фокусы имеют координаты F1(0;–c) и F2(0;c) , где
Оба случая расположения эллипса относительно осей координат можно представить в таблице 1.

до двух заданных точек плоскости F1 и F2 (называемых фокусами) есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы:
Числа а, b и с связаны между собой равенством:
а2 + b2 = с2 или b2 + a2 = с2.
Выберем систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O: F1 (-с; 0) и F2 (с; 0).

ГИПЕРБОЛА

его длина 2a; отре-зок B1B2 – мнимой осью, его длина 2b. Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно. Длина отрезка F1F2, равная 2c, назы-вается фокусным расстоянием.
Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M.

центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).

Эксцентриситет гиперболы есть отношение фокус-ного расстояния к его действительной оси:

Центр симметрии гиперболы называют центром ги-перболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую че-рез фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.

уравнение имеет вид:
или .
Асимптоты равнобочной гиперболы являют-ся биссектрисами координатных углов.
Для равносторонней гиперблолы с2 = а2 + а2 , т.е.
с = а√2 и ее эксцентриситет будет в этом случае равен √2≈1,41.

Прямые, заданные уравнениями называются асимптотами гиперболы.

на оси Oy на одинако-вом расстоянии от начала координат, то урав-нение гиперболы будет иметь вид:

Оба случая расположения гиперболы относительно осей координат предста-вим в таблице 2.

Для этой гиперболы дейст-вительная ось – ось Oy, мнимая ось – ось Ox и координаты фокусов F1(0;–c) и F2(0;c) (где )

и данной прямой d, называемой директрисой.
Расстояние от фокуса F до директрисы d принято обозначать p (p>0).
Каноническое уравнение параболы: у2 = ±2рх
Выберем систему координат так, чтобы директриса параболы d была перпендикулярна оси Ox и фокус F лежал на положительной части Ox. В этом случае
F (±0,5p; 0) и уравнение директрисы d: x = ± 0,5p.

ПАРАБОЛА

p называется параметром параболы.
Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальным радиусом r точки M.
СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ
1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0 (x ≤ 0).
2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы.