Лекция 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§1. Производная функции

ОПР. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел

Функция, имеющая конечную производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке,

Связь дифференцируемости и непрерывности функции

Если функция дифференцируема в данной точке, то

1.1. Техника дифференцирования

Правила дифференцирования
Пусть и дифференцируемые функции независимой переменной x,

Таблица производных

Пример

Найти производные первого порядка функций
1).
Решение. Применим формулу производной суммы
Далее используем

(1):
(3):
(1):
Правило (1): Тогда:

2)
Решение. Используем правило дифференцирования произведения
Далее, по таблице производных имеем:
Формула (5):
Формула

3) Производная сложной функции. Вычислить производную
Решение. Используем формулу
В данном случае

1.2. Дифференциал функции

Пусть функция имеет в точке x производную
Тогда
где при

Причем,
Слагаемое - главная часть приращения функции .

ОПР. Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции, равная

1.3. Геометрический смысл производной
Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту

1.4. Уравнения касательной и нормали

Уравнение касательной можно найти, используя уравнение

Уравнение нормали

Прямая перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью к кривой.
Угловые

Потому уравнение нормали в точке
имеет вид:
Углом между кривыми называют угол

Экономический смысл производной. Эластичность

Пусть функция u=u(t) выражает количество произведенной продукции u

Средняя производительность труда за этот период времени:
ОПР. Производительностью труда в момент

ОПР. Эластичностью функции y=f(x) в точке x называется предел
Эластичность функции показывает

Пусть D=D(p) – функция спроса (зависит от цены товара p). Тогда