Линейная алгебра. Определители. (Лекция 2)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Линейная алгебра. Определители. (Лекция 2)

Содержание

2. План лекции Определитель 2-го порядка. Определитель n-го порядка. Свойства определителя. Основные методы вычисления определителя: метод приведения
3. Определитель 2-го порядка Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (определителем матрицы А), называется число
4. Примеры вычисления определителя 2-го порядка 1) 2)
5. Определитель n-го порядка Определителем n-го порядка, соответствующим матрице A, называется число detA, равное сумме всех произведений
6. Число t (s) равно числу транспозиций, которое нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки (1,2,…,n) к
7. Свойства определителя Умножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно умножению самого определителя на
8. Свойства определителя Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю.
9. Свойства определителя Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число,
10. Свойства определителя Алгебраическим дополнением элемента называется следующий определитель n-го порядка i-ая строка j-й столбец
11. Свойства определителя 9. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому
12. умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на
13. Методы вычисления определителей 1. Метод приведения к треугольному виду Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками
14. Методы вычисления определителей 2. Метод понижения порядка Минором , соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель
15. Линейная алгебра Лекция 2 Обратная матрица
16. План лекции Определение обратной матрицы Свойства обратимой матрицы Вырожденная и невырожденная матрицы Необходимое и достаточное условие
17. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Квадратная матрица А называется обратимой, если найдётся квадратная матрица В такая, что выполняются равенства:
18. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБРАТИМЫХ МАТРИЦ Если квадратные матрицы А и В обратимы, то справедливы следующие соотношения:
19. Вырожденные и невырожденные матрицы Матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля, и вырожденной
20. Для того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен
21. Основные методы построения обратной матрицы. Метод присоединенной матрицы Присоединенная матрица определяется как транспонированная к матрице, составленной
23. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции
Определитель 2-го порядка.
Определитель n-го порядка.
Свойства определителя.
Основные методы вычисления определителя:
метод приведения

к треугольному виду;
метод понижения порядка.

Слайд 3

Определитель 2-го порядка
Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (определителем матрицы А),

называется число

Слайд 4

Примеры вычисления определителя 2-го порядка
1)
2)

Слайд 5

Определитель n-го порядка
Определителем n-го порядка, соответствующим матрице A, называется число detA,

равное сумме всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки и снабженных знаком «+» или «-» по определённому правилу – «правилу знаков», которое состоит в следующем:

Слайд 6

Число t (s) равно числу транспозиций, которое нужно сделать, чтобы перейти

от основной перестановки (1,2,…,n) к перестановке .

Определитель n-го порядка. Правило знаков

Пример.
Произведение входит в определитель 5-го порядка со знаком « + », т.к.

, t (s) = 2

Слайд 7

Свойства определителя
Умножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно

умножению самого определителя на этот коэффициент.
Если все элементы некоторой строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя).

Слайд 8

Свойства определителя
Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то

и определитель равен нулю.
При перестановке двух строк (столбцов) между собой величина определителя меняет лишь знак.
Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов матрицы).
Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Слайд 9

Свойства определителя
Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец),

умноженную на произвольное число, то величина определителя не изменится.
Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:

Слайд 10

Свойства определителя
Алгебраическим дополнением элемента
называется следующий определитель n-го порядка
i-ая строка
j-й

столбец

Слайд 11

Свойства определителя
9. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их

алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:

Слайд 12

умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке

(столбцу) другой, умноженной на любое число;
перемена местами двух строк (столбцов).

Элементарные преобразования

Под элементарными преобразованиями понимаются:

Слайд 13

Методы вычисления определителей
1. Метод приведения к треугольному виду
Матрица определителя приводится элементарными

преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду.
Определитель полученной матрицы вычисляется как произведение диагональных элементов:

Слайд 14

Методы вычисления определителей
2. Метод понижения порядка
Минором , соответствующим элементу определителя n-го

порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием
i-й строки и j-го столбца.

Справедливо следующее равенство: .

Разложение определителя по i-ой строке

Слайд 15

Линейная алгебра
Лекция 2
Обратная матрица

Слайд 16

План лекции
Определение обратной матрицы
Свойства обратимой матрицы
Вырожденная и невырожденная матрицы
Необходимое и достаточное

условие существования обратной матрицы
Основные методы нахождения обратной матрицы:
метод присоединенной матрицы;
метод элементарных преобразований.

Слайд 17

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Квадратная матрица А называется обратимой, если найдётся квадратная матрица В

такая, что выполняются равенства:
А . В = В . А = Е
В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается
В = А-1

Слайд 18

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБРАТИМЫХ МАТРИЦ
Если квадратные матрицы А и В обратимы, то

справедливы следующие соотношения:

Слайд 19

Вырожденные и невырожденные матрицы
Матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы отличен

от нуля, и вырожденной в противном случае.

– матрица А вырожденная.

– матрица А невырожденная.

Слайд 20

Для того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно,

чтобы определитель матрицы был отличен от нуля, т.е. чтобы А была невырожденной. При этом:

ТЕОРЕМА (условия существования обратной матрицы)

Слайд 21

Основные методы построения обратной матрицы. Метод присоединенной матрицы
Присоединенная матрица определяется как

транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A :

Справедливо равенство

Из теоремы следует, что если A – невырожденная матрица, то

Линейная алгебра. Определители. (Лекция 2)

Содержание

План лекцииОпределитель 2-го порядка.Определитель n-го порядка.Свойства определителя.Основные методы вычисления определителя:метод приведения

Определитель 2-го порядкаОпределителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (определителем матрицы А),

Примеры вычисления определителя 2-го порядка1)2)

Определитель n-го порядкаОпределителем n-го порядка, соответствующим матрице A, называется число detA,

Число t (s) равно числу транспозиций, которое нужно сделать, чтобы перейти

Свойства определителяУмножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно

Свойства определителяЕсли все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то

Свойства определителяЕсли к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец),

Свойства определителяАлгебраическим дополнением элемента называется следующий определитель n-го порядка i-ая строкаj-й

Свойства определителя9. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их

умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;прибавление к одной строке

Методы вычисления определителей1. Метод приведения к треугольному видуМатрица определителя приводится элементарными

Методы вычисления определителей2. Метод понижения порядка Минором , соответствующим элементу определителя n-го

Линейная алгебраЛекция 2Обратная матрица

План лекцииОпределение обратной матрицыСвойства обратимой матрицыВырожденная и невырожденная матрицыНеобходимое и достаточное

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Квадратная матрица А называется обратимой, если найдётся квадратная матрица В

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБРАТИМЫХ МАТРИЦ Если квадратные матрицы А и В обратимы, то

Вырожденные и невырожденные матрицыМатрица А называется невырожденной, если определитель матрицы отличен