Линейные операторы в линейных пространствах

Август 20, 2022

Главная
Математика
Линейные операторы в линейных пространствах

Содержание

2. Линейные операторы в линейных пространствах Пусть даны линейные пространства X и Y над одним и тем
3. Линейные операторы в линейных пространствах Оператор , действующий из X в Y, называют линейным, если он
4. Свойства линейных операторов в линейных пространствах линейный оператор переводит линейную комбинацию векторов из X в линейную
5. Пример Пример
6. Линейные операторы в линейных пространствах Пусть из линейного пространства X в линейное пространство Y действует линейный
7. Линейные операторы в линейных пространствах Множество всех векторов линейного пространства X, которые переводятся линейным оператором в
8. Линейные операторы в линейных пространствах Если ядро линейного оператора состоит только из нулевого вектора (т.е. дефект
9. Примеры линейных операторов в линейных пространствах Оператор : , переводящий каждый вектор a линейного пространства X
10. Линейные операторы в линейных пространствах Теорема Пусть линейный оператор действует из линейного пространства X в линейное
11. Линейные операторы в линейных пространствах Если известны образы векторов базиса , то для любого вектора мы
12. Линейные операторы и матрицы Предположим, что в линейном пространстве X задан базис , а в линейном
13. Линейные операторы и матрицы Матрица (**) называется матрицей линейного оператора в паре базисов и . Утверждение.
14. Утверждение. Линейные операторы и матрицы Между множеством линейных операторов, действующих из n - мерного линейного пространства
15. Линейные операторы и матрицы Замечание. Если оператор действует в линейном пространстве X, то X выступает и
16. Линейные операторы и матрицы Теорема Пусть линейный оператор, действующий из линейного пространства X в линейное пространство
17. Выражение координат вектора - образа через координаты вектора - прообраза Теорема Если линейный оператор, действующий из
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Линейные операторы в линейных пространствах
Пусть даны линейные пространства X и Y

над одним и тем же полем P. Говорят, что из пространства X в пространство Y действует оператор или, что то же самое, отображение , преобразование , функция , если каждому вектору a из X по какому-либо правилу ставится в соответствие определенный вектор из Y . Вектор называют образом вектора a, вектор a - прообразом вектора при отображении .
Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве .

Слайд 3

Линейные операторы в линейных пространствах
Оператор , действующий из X в Y,

называют линейным, если он сумму любых векторов a и b из X переводит в сумму их образов и , а произведение любого вектора a из X на любое число из P - в произведение образа вектора
a на то же число , т.е. если

Слайд 4

Свойства линейных операторов в линейных пространствах
линейный оператор переводит линейную комбинацию векторов

из X в линейную комбинацию образов этих векторов с теми же коэффициентами, т.е.
линейный оператор переводит нулевой вектор 0 из X в нулевой вектор из Y ;
линейный оператор переводит вектор -a , противоположный вектору a в вектор из Y.

Слайд 5

Пример

Пример

Слайд 6

Линейные операторы в линейных пространствах
Пусть из линейного пространства X в линейное

пространство Y действует линейный оператор . Множество образов всех векторов из X при действии оператора называют областью значений оператора .
Область значений оператора является подпространством в Y .

Слайд 7

Линейные операторы в линейных пространствах
Множество всех векторов линейного пространства X, которые

переводятся линейным оператором в нулевой вектор линейного пространства Y, называют ядром линейного оператора . Область значений оператора называют его образом и обозначают . Ядро линейного оператора является линейным подпространством в Х .

Размерность ядра линейного оператора называют дефектом линейного оператора.

Размерность области значений линейного оператора называют рангом линейного оператора.

Слайд 8

Линейные операторы в линейных пространствах
Если ядро линейного оператора состоит только из

нулевого вектора (т.е. дефект оператора равен нулю), то называют невырожденным линейным оператором. В противном случае его называют вырожденным линейным оператором.

Два линейных оператора и , действующих из линейного пространства X в линейное пространство Y, называют равными, если для любого
выполняются условие .

Слайд 9

Примеры линейных операторов в линейных пространствах
Оператор : , переводящий каждый вектор

a линейного пространства X в тот же вектор , является линейным оператором. Такой оператор называют тождественным.
Оператор : , переводящий каждый вектор a линейного пространства X в нулевой вектор линейного пространства Y, является линейным оператором. Такой оператор называют нулевым.
Умножение векторов линейного пространства X на одно и то же число k (растяжение линейного пространства в k раз) является линейным оператором, действующим в X. Такой оператор называют оператором подобия.

Слайд 10

Линейные операторы в линейных пространствах
Теорема
Пусть линейный оператор действует из линейного

пространства X в линейное пространство Y и
- базис в X. Тогда оператор однозначно определяется заданием образов векторов базиса .

Доказательство:

Слайд 11

Линейные операторы в линейных пространствах
Если известны образы векторов базиса
,

то для любого вектора
мы однозначно определим его образ при действии оператора :
. Следовательно, оператор однозначно определяется образами векторов заданного базиса.

Слайд 12

Линейные операторы и матрицы
Предположим, что в линейном пространстве X задан базис

, а в линейном пространстве Y - базис . По предыдущей теореме линейный оператор , действующий из X в Y, однозначно определяется образами векторов базиса e. Каждый вектор разложим по базису :

Cоставим матрицу

(**)

(*)

Слайд 13

Линейные операторы и матрицы
Матрица (**) называется матрицей линейного оператора в паре

базисов и .

Утверждение.

Каждому линейному оператору, действующему из X в Y, в паре заданных базисов и соответствует - матрица. Наоборот, любая - матрица является матрицей некоторого линейного оператора , действующего из X в Y .

Слайд 14

Утверждение.
Линейные операторы и матрицы
Между множеством линейных операторов, действующих из n -

мерного линейного пространства X в m - мерное линейное пространство Y , и множеством матриц размера установлено взаимно однозначное соответствие. При фиксированных базисах e и q это соответствие позволяет отождествить линейные операторы с их матрицами.

В матричной форме соотношения (*) записываются в виде

(***) где

Слайд 15

Линейные операторы и матрицы
Замечание.
Если оператор действует в линейном пространстве X, то

X выступает и в качестве области определения, и области значений. В этом случае естественно ограничиться лишь одним базисом, т.е. считать, что базисы e и q совпадают. При этом матрица линейного оператора будет квадратной, а соотношение (***) примет вид:
.

Слайд 16

Линейные операторы и матрицы
Теорема
Пусть линейный оператор, действующий из линейного пространства

X в линейное пространство Y, имеющий в двух заданных базисах e в X и q в Y матрицу . Тогда:
ранг r оператора совпадает с рангом его матрицы;
дефект оператора равен разности n-r размерности n линейного пространства X и ранга r оператора ;
сумма ранга и дефекта оператора равна размерности линейного пространства X.

Слайд 17

Выражение координат вектора - образа через координаты вектора - прообраза
Теорема
Если

линейный оператор, действующий из линейного пространства X в линейное пространство Y , который в паре базисов в X и в Y имеет матрицу , то столбец координат вектора
в базисе q равен произведению матрицы на столбец координат вектора x в базисе e, т.е.
.
В частности, если пространства X=Y и q=e, то
.

Линейные операторы в линейных пространствах

Содержание

Линейные операторы в линейных пространствахПусть даны линейные пространства X и Y

Линейные операторы в линейных пространствахОператор , действующий из X в Y,

Свойства линейных операторов в линейных пространствахлинейный оператор переводит линейную комбинацию векторов

Пример Пример

Линейные операторы в линейных пространствахПусть из линейного пространства X в линейное

Линейные операторы в линейных пространствахМножество всех векторов линейного пространства X, которые

Линейные операторы в линейных пространствахЕсли ядро линейного оператора состоит только из

Примеры линейных операторов в линейных пространствахОператор : , переводящий каждый вектор

Линейные операторы в линейных пространствахТеорема Пусть линейный оператор действует из линейного

Линейные операторы в линейных пространствахЕсли известны образы векторов базиса ,

Линейные операторы и матрицыПредположим, что в линейном пространстве X задан базис

Линейные операторы и матрицыМатрица (**) называется матрицей линейного оператора в паре

Утверждение.Линейные операторы и матрицыМежду множеством линейных операторов, действующих из n -

Линейные операторы и матрицыЗамечание.Если оператор действует в линейном пространстве X, то

Линейные операторы и матрицыТеорема Пусть линейный оператор, действующий из линейного пространства

Выражение координат вектора - образа через координаты вектора - прообразаТеорема Если

Похожие презентации