Дифференциальные уравнения и ряды. Лекция 8

Июль 22, 2022

Главная
Математика
Дифференциальные уравнения и ряды. Лекция 8

Содержание

2. Тема 2. Несобственные интегралы Определенный интеграл где [a, b] − конечный промежуток интегрирования, а подынтегральная функция
3. §1. Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным промежутком интегрирования) Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке
4. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он
5. Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (‒∞, b]: Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:
6. Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: Решение. 1. Вычисляем по определению Интеграл равен
7. 3. Разбиваем интеграл на сумму двух несобственных интегралов (для упрощения вычислений возьмем с = 0) Вычисляем
8. При решении задач в некоторых случаях нет необходимости вычислять интеграл, достаточно лишь знать сходится он или
9. Пример 2. Исследовать на сходимость Решение. Для сравнения используем интеграл который сходится (см. пример 1). Сравним
10. 2. Предельный признак сравнения Если на промежутке [a, +∞) f(x) > 0, g(x) > 0 и
11. Пример 3. Исследовать на сходимость Решение. Подберем функцию для сравнения. Для этого преобразуем подынтегральную функцию Используем
12. По предельному признаку сравнения интегралы и ведут себя одинаково, т.е. оба сходятся. Замечание. При вычислении предела
13. §2. Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции) Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b)
14. Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует
15. Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда f(x) терпит бесконечный разрыв в точке х = а:
16. Пример 4. Вычислить Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке с = 0 (точка разрыва 2-го
17. Замечание. Если вычислять данный интеграл, не обращая внимание на разрыв подынтегральной функции в точке х =
18. Признаки сходимости несобственных интегралов II рода аналогичны признакам сходимости несобственных интегралов I рода. В качестве интеграла,
19. Пример 5. Исследовать на сходимость Решение. Подынтегральная функция не определена в точке х = 0. Выясним
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Тема 2. Несобственные интегралы
Определенный интеграл где [a, b] − конечный
промежуток

интегрирования, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], называют еще собственным интегралом.
Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв, называется несобственным интегралом.

Слайд 3

§1. Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным промежутком интегрирования)
Пусть функция

f(x) непрерывна на промежутке [a, +∞).
Если существует конечный предел
то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают
Таким образом, по определению

Слайд 4

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если же указанный

предел не существует или он равен бесконечности, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Если функция f(x) ≥ 0 непрерывна на промежутке [a,+∞)
и интеграл сходится,
то он выражает площадь
бесконечно длинной
криволинейной трапеции.

Слайд 5

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (‒∞, b]:
Несобственный интеграл с двумя

бесконечными пределами определяется формулой:
где с ‒ произвольное число.
В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Слайд 6

Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
Решение.
1. Вычисляем

по определению
Интеграл равен конечному числу ⇒ сходится.
2. Решаем аналогично
⇒ интеграл расходится.

Слайд 7

3. Разбиваем интеграл на сумму двух несобственных интегралов (для упрощения вычислений

возьмем с = 0)
Вычисляем первый интеграл
т.к. функция y = sin x не имеет предела при х→∞, то полученный предел не существует. Следовательно,
первый интеграл расходится. Значит так же расходится.

Слайд 8

При решении задач в некоторых случаях нет необходимости вычислять интеграл, достаточно

лишь знать сходится он или нет.
Для этого используются признаки сходимости:
1. Признак сравнения.
Если на промежутке [a, +∞) непрерывные функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то из
сходимости интеграла следует сходимость интеграла а из расходимости интеграла
следует расходимость интеграла

Слайд 9

Пример 2. Исследовать на сходимость
Решение.
Для сравнения используем интеграл который сходится (см. пример

1).
Сравним подынтегральные функции:
По признаку сравнения из сходимости большего интеграла следует сходимость меньшего интеграла,
поэтому так же сходится.

Слайд 10

2. Предельный признак сравнения
Если на промежутке [a, +∞) f(x) > 0,

g(x) > 0 и существует конечный предел то интегралы одновременно оба сходятся или оба расходятся
(т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).
В качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используют интегралы вида
которые сходятся при α > 1 и
расходятся при α ≤ 1.

Слайд 11

Пример 3. Исследовать на сходимость
Решение.
Подберем функцию для сравнения. Для этого преобразуем

подынтегральную функцию
Используем эквивалентные функции:
при х→0,
тогда при х→∞.
Поэтому для сравнения используем интеграл
который сходится.

Слайд 12

По предельному признаку сравнения
интегралы и ведут себя
одинаково, т.е. оба сходятся.
Замечание. При

вычислении предела вновь воспользовались эквивалентностью функций

Слайд 13

§2. Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)
Пусть f(x) непрерывна

на промежутке [a, b) и имеет бесконечный разрыв при x = b. Если существует
конечный предел то его называют
несобственным интегралом второго рода и
обозначают
Таким образом, по определению

Слайд 14

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если

же указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится.
Геометрически несобственный интеграл второго рода в случае f(x)>0 есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = f(x),
осью абсцисс, прямой х = а и
вертикальной асимптотой
х = b.

Слайд 15

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда f(x) терпит бесконечный разрыв

в точке х = а:
Если функция f(x) терпит бесконечный разрыв во внутренней точке с отрезка [a, b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
В этом случае интеграл слева сходится, если сходятся оба несобственных интеграла справа.

Слайд 16

Пример 4. Вычислить
Решение.
Подынтегральная функция терпит разрыв в точке с = 0

(точка разрыва 2-го рода).
Поэтому, по определению
Вычислим первый интеграл
Следовательно, интеграл расходится.

Слайд 17

Замечание. Если вычислять данный интеграл, не обращая внимание на разрыв подынтегральной

функции в точке х = 0, то получим неверный результат

Слайд 18

Признаки сходимости несобственных интегралов II рода аналогичны признакам сходимости несобственных интегралов

I рода.
В качестве интеграла, с которым производится сравнение, используются интегралы вида:
которые сходятся при α < 1 и расходятся при α ≥ 1.

Слайд 19

Пример 5. Исследовать на сходимость
Решение.
Подынтегральная функция не определена в точке х

= 0.
Выясним характер разрыва функции в этой точке:
Следовательно, х = 0 точка разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

Дифференциальные уравнения и ряды. Лекция 8

Содержание

Тема 2. Несобственные интегралыОпределенный интеграл где [a, b] − конечный промежуток

§1. Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным промежутком интегрирования)Пусть функция

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (‒∞, b]:Несобственный интеграл с двумя

Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:Решение. 1. Вычисляем

3. Разбиваем интеграл на сумму двух несобственных интегралов (для упрощения вычислений

При решении задач в некоторых случаях нет необходимости вычислять интеграл, достаточно

Пример 2. Исследовать на сходимостьРешение.Для сравнения используем интеграл который сходится (см. пример

2. Предельный признак сравненияЕсли на промежутке [a, +∞) f(x) > 0,

Пример 3. Исследовать на сходимостьРешение.Подберем функцию для сравнения. Для этого преобразуем

По предельному признаку сравненияинтегралы и ведут себя одинаково, т.е. оба сходятся.Замечание. При

§2. Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)Пусть f(x) непрерывна