Матрицы и системы линейных уравнений

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Матрицы и системы линейных уравнений

Содержание

2. Примеры матриц 1. Нулевая матрица О – матрица, у которой все элементы : (1.2) 2. Единичная
3. 3. Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой элементы: при , а при : (1.4) 4.
4. Замечание. «Главной диагональю» произвольной матрицы называют группу элементов , , … , (при ), либо группу
5. либо при m (1.7) Определение 1.2 (равенство матриц). Матрица А называется равной матрице В (А =
6. Определение 1.3 (сумма двух матриц). Пусть даны две матрицы и , тогда суммой А + В
7. Свойства операций над матрицами 1) – коммутативность, 2) , 3) , , 4) Произведение матриц зависит
8. Замечание. – умножение невозможно. Кроме того: Определение 1.6. Дана квадратная матрица . Обратной матрицей к матрице
10. Скачать презентацию

Слайд 2

Примеры матриц
1. Нулевая матрица О – матрица, у которой все элементы

:
(1.2)
2. Единичная матрица Е – квадратная матрица, у которой элементы:
при , а при , т. е.
(1.3)

Слайд 3

3. Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой
элементы:
при

,
а при : (1.4)
4. Матрица «треугольного вида» («верхнетреугольного вида»),
– квадратная матрица,
у которой все элементы,
расположенные «под (1.5)
главной диагональю»,
равны нулю, т. е.
.

Слайд 4

Замечание. «Главной диагональю» произвольной матрицы называют
группу элементов , , …

, (при ), либо группу элементов
, ,…, (при ).
5. Матрица «почти треугольного вида», – прямоугольная матрица, у которой все элементы , расположенные под «главной диагональю», равны нулю, т. е. при m > n
(1.6)

Слайд 5

либо при m < n
(1.7)
Определение 1.2 (равенство матриц). Матрица А называется

равной матрице В (А = В), если обе матрицы имеют одинаковый размер m × n и, кроме того, все соответствующие элементы равны между собой: .
Например. Если
, , ,
то А = В, А ≠ С, В ≠ С.

Слайд 6

Определение 1.3 (сумма двух матриц). Пусть даны две матрицы и

, тогда суммой А + В матриц А и В называется матрица , у
которой элементы .
Например.
Определение 1.4 (произведение матрицы на число). Пусть дана матрица и число λ. Произведением числа λ на матрицу А называется такая
матрица , у которой все элементы .
Например.
Определение 1.5 (произведение двух матриц). Пусть даны две матрицы
и , тогда произведением матрицы А (слева) на матрицу В (справа)
называется матрица , у которой элементы находятся так:
(1.8)

Слайд 7

Свойства операций над матрицами
1) – коммутативность,
2) , 3) , ,
4) Произведение матриц

зависит от порядка расположения сомножителей, то есть, .
5) – ассоциативность.
6) – дистрибутивность.
Например. Если , , , то

Слайд 8

Замечание. – умножение невозможно. Кроме того:
Определение 1.6. Дана квадратная матрица .

Обратной матрицей к матрице А называется такая матрица , которая обладает следующими свойствами:
(1.9)
где Е – единичная матрица такого же размера.
Замечание. Не всякая квадратная матрица имеет к себе обратную .
Например: матрица не имеет к себе обратной, т. к. если
по определению 1.2 должны выполняться все равенства: