Матрицы и определители

Июль 29, 2022

Главная
Математика
Матрицы и определители

Содержание

2. Матрица Матрица – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины n Матрица А называется
3. Пример Размер матрицы – 3х4 Элемент а23=-2 Элемент а31=-3 Элемент а12=5 Главную диагональ составляют числа 3;
4. Классификация матриц Две матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц Матрица называется
5. Классификация матриц Диагональная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны единице Матрица называется нулевой,
6. Классификация матриц Матрица называется вектором, если она содержит или одну строку, или один столбец Матрица называется
7. Пример Квадратная матрица А Матрица-вектор В Треугольная матрица С Транспонированные матрицы:
8. Действия над матрицами Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица, полученная с помощью сложения соответствующих элементов
9. Примеры
10. Свойства действий Переместительное свойство Сочетательные свойства Распределительные свойства Свойства нуля Свойство единицы
11. Элементарные преобразования матриц Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы Умножение всех элементов ряда матрицы на число
12. Пример
13. Определитель Определителем квадратной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом: Если порядок квадратной матрицы равен 1,
14. Определитель
15. Примеры
16. Свойства определителей Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы – строками Определитель, имеющий 2
17. Свойства определителей 4. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный 5. Если элементы
18. Минор элемента определителя и его алгебраическое дополнение Минором элемента aIJ определителя n-го порядка называется определитель n-1
19. Свойства определителей 7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения 8.
20. Примеры
21. Обратная матрица Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, в противном случае, матрицу называют
22. Теорема о существовании обратной матрицы Любая невырожденная матрица имеет обратную, равную союзной матрице, деленной на определитель
23. Доказательство теоремы
24. Алгоритм нахождения обратной матрицы Вычислить определитель Вычислить все алгебраические дополнения Составить союзную матрицу, не забывая о
25. Пример
26. Нахождение обратной матрицы 3-го порядка
27. Пример
28. Свойства обратной матрицы Определитель обратной матрицы является обратным к определителю данной матрицы Обратная матрица от произведения
29. Минор матрицы Минором матрицы называется определитель, состоящий из элементов, находящихся на пересечении выделенных k строк и
31. Скачать презентацию

Слайд 2

Матрица
Матрица – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины

n
Матрица А называется матрицей размера mxn, числа aiJ называются ее элементами, где i показывает номер строки, а j – номер столбца. Числа а11, а22, а33… образуют главную диагональ

Слайд 3

Пример
Размер матрицы – 3х4
Элемент а23=-2
Элемент а31=-3
Элемент а12=5
Главную диагональ составляют числа

3; -1; 1

Слайд 4

Классификация матриц
Две матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы

этих матриц
Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов. При этом квадратную матрицу размера nxn называют матрицей n-го порядка
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю

Слайд 5

Классификация матриц
Диагональная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны

единице
Матрица называется нулевой, если все элементы равны нулю
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю

Слайд 6

Классификация матриц
Матрица называется вектором, если она содержит или одну строку, или

один столбец
Матрица называется транспонированной к данной, если каждая строка данной матрицы становится столбцом с тем же номером у новой матрицы. Обозначается Ат
Матрица называется канонической, если в начале главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю

Слайд 7

Пример
Квадратная матрица А
Матрица-вектор В
Треугольная матрица С
Транспонированные матрицы:

Слайд 8

Действия над матрицами
Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица, полученная с

помощью сложения соответствующих элементов данных матриц
Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой умножены на данное число
Произведением двух матриц называется матрица, у которой элемент i-той строки и j-того столбца равен сумме произведений элементов i-той строки первой матрицы на соответствующие элементы j-того столбца второй матрицы

Слайд 9

Примеры

Слайд 10

Свойства действий
Переместительное свойство
Сочетательные свойства
Распределительные свойства
Свойства нуля
Свойство единицы

Слайд 11

Элементарные преобразования матриц
Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы
Умножение всех элементов ряда

матрицы на число отличное от нуля
Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Слайд 12

Пример

Слайд 13

Определитель
Определителем квадратной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом:
Если порядок квадратной

матрицы равен 1, т.е. она состоит из 1 числа, то определитель равен этому числу
Если порядок квадратной матрицы равен 2, т.е. она состоит из 4 чисел, то определитель равен разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали
Если порядок квадратной матрицы равен 3, т.е. она состоит из 9 чисел, то определитель равен сумме произведений элементов главной диагонали и двух треугольников параллельных этой диагонали, из которой вычли сумму произведений элементов побочной диагонали и двух треугольников параллельных этой диагонали

Слайд 14

Определитель

Слайд 15

Примеры

Слайд 16

Свойства определителей
Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы –

строками
Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен нулю
Общий множитель какого – либо ряда определителя можно вынести за знак определителя

Слайд 17

Свойства определителей
4. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на

противоположный
5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей
6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число

Слайд 18

Минор элемента определителя и его алгебраическое дополнение
Минором элемента aIJ определителя n-го

порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из исходного с помощью вычеркивания i-той строки и j-того столбца
Алгебраическое дополнение элемента aIJ определителя – это его минор, умноженный на
(-1)i+j

Слайд 19

Свойства определителей
7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие

им алгебраические дополнения
8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю

Слайд 20

Примеры

Слайд 21

Обратная матрица
Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, в

противном случае, матрицу называют вырожденной
Матрица называется союзной, если она состоит из соответствующих алгебраических дополнений и транспонирована
Матрица называется обратной к данной матрице, если их произведение равно единичной матрице того же порядка, что и данная матрица

Слайд 22

Теорема о существовании обратной матрицы
Любая невырожденная матрица имеет обратную, равную союзной

матрице, деленной на определитель данной матрицы

Слайд 23

Доказательство теоремы

Слайд 24

Алгоритм нахождения обратной матрицы
Вычислить определитель
Вычислить все алгебраические дополнения
Составить союзную матрицу, не

забывая о транспонировании
Разделить каждое число союзной матрицы на определитель

Слайд 25

Пример

Слайд 26

Нахождение обратной матрицы 3-го порядка

Слайд 27

Пример

Слайд 28

Свойства обратной матрицы
Определитель обратной матрицы является обратным к определителю данной матрицы
Обратная

матрица от произведения двух матриц равна произведению матрицы обратной ко второй на матрицу обратную к первой
Порядок действий: транспонирование и нахождение обратной матрицы можно менять местами

Слайд 29

Минор матрицы
Минором матрицы называется определитель, состоящий из элементов, находящихся на пересечении

выделенных k строк и k столбцов данной матрицы размера mxn
Рангом матрицы называется наибольший порядок того минора матрицы, который отличен от нуля
Обозначение r(A), rangA
Минор называется базисным, если его порядок определяет ранг матрицы

Матрицы и определители

Содержание

МатрицаМатрица – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины

ПримерРазмер матрицы – 3х4Элемент а23=-2Элемент а31=-3Элемент а12=5Главную диагональ составляют числа

Классификация матрицДве матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы

Классификация матрицДиагональная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны

Классификация матрицМатрица называется вектором, если она содержит или одну строку, или

ПримерКвадратная матрица АМатрица-вектор ВТреугольная матрица СТранспонированные матрицы:

Действия над матрицамиСуммой двух матриц одинакового размера называется матрица, полученная с

Примеры

Свойства действийПереместительное свойство Сочетательные свойстваРаспределительные свойстваСвойства нуляСвойство единицы

Элементарные преобразования матрицПерестановка местами двух параллельных рядов матрицыУмножение всех элементов ряда

Пример

ОпределительОпределителем квадратной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом:Если порядок квадратной

Определитель

Примеры

Свойства определителейОпределитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы –

Свойства определителей4. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на

Минор элемента определителя и его алгебраическое дополнениеМинором элемента aIJ определителя n-го

Свойства определителей7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие

Примеры

Обратная матрицаМатрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, в

Теорема о существовании обратной матрицыЛюбая невырожденная матрица имеет обратную, равную союзной

Доказательство теоремы

Алгоритм нахождения обратной матрицыВычислить определительВычислить все алгебраические дополненияСоставить союзную матрицу, не

Пример

Нахождение обратной матрицы 3-го порядка

Пример

Свойства обратной матрицыОпределитель обратной матрицы является обратным к определителю данной матрицыОбратная

Минор матрицыМинором матрицы называется определитель, состоящий из элементов, находящихся на пересечении

Похожие презентации

Матрица
Матрица – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины

Пример
Размер матрицы – 3х4
Элемент а23=-2
Элемент а31=-3
Элемент а12=5
Главную диагональ составляют числа

Классификация матриц
Две матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы

Классификация матриц
Диагональная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны

Классификация матриц
Матрица называется вектором, если она содержит или одну строку, или

Пример
Квадратная матрица А
Матрица-вектор В
Треугольная матрица С
Транспонированные матрицы:

Действия над матрицами
Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица, полученная с

Свойства действий
Переместительное свойство
Сочетательные свойства
Распределительные свойства
Свойства нуля
Свойство единицы

Элементарные преобразования матриц
Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы
Умножение всех элементов ряда

Определитель
Определителем квадратной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом:
Если порядок квадратной

Свойства определителей
Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы –

Свойства определителей
4. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на

Минор элемента определителя и его алгебраическое дополнение
Минором элемента aIJ определителя n-го

Свойства определителей
7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие

Обратная матрица
Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, в

Теорема о существовании обратной матрицы
Любая невырожденная матрица имеет обратную, равную союзной

Алгоритм нахождения обратной матрицы
Вычислить определитель
Вычислить все алгебраические дополнения
Составить союзную матрицу, не

Свойства обратной матрицы
Определитель обратной матрицы является обратным к определителю данной матрицы
Обратная

Минор матрицы
Минором матрицы называется определитель, состоящий из элементов, находящихся на пересечении