Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

Дифференциальное уравнение в частных производных

Системы ДУЧП

Уравнение непрерывности (переноса)

Уравнение непрерывности (переноса)

Уравнение переноса

Уравнение сжимаемой жидкости

- Х-проекция импульса объема жидкости

Уравнения классической гидродинамики

уравнение состояния

Уравнение теплопроводности

Уравнения электромагнетизма

Консервативные ДУ

Уравнение диффузии

Волновое уравнение

Уравнение Пуассона и Лапласа

Классификация ДУЧП 2-го порядка

Аппроксимация производных конечными разностями

Граничные и начальные условия

Аппроксимация производных конечными разностями

Аппроксимация 1-го порядка точности

Аппроксимация 1-го порядка точности

Центральная аппроксимация 2-го порядка

Центральная аппроксимация 2-ой производной

Сетки и шаблоны

Точность аппроксимации

Явные и неявные схемы

Методы составления схем

Метод разностной аппроксимации
Интегро-интерполяционный метод (законы сохранения)
Метод неопределенных коэффициентов

Сходимость

Анализ устойчивости по методу Неймана

Исследуется поведение Фурье-мод на сетке независимо

Анализ устойчивости

Матрица перехода может меняться по пространственной и временной сеткам –

Анализ уравнения переноса

Схема Лакса

Дисперсия и диффузия на сетке

Разностная схема Лакса соответствует ДУ с диффузионным

Дисперсия сетки

Для уравнения переноса дисперсия линейна, все гармоники имеют одинаковые фазовую

Дисперсия сетки для одномерного волнового уравнения

Теперь рассмотрим дисперсию схемы

Дисперсия сетки для одномерного волнового уравнения

Рассмотрим случай очень плотной сетки

Рассмотрим случай

Дисперсия сетки для одномерного волнового уравнения

Общий случай (дисперсия на сетке)

Схема 2-го порядка точности по времени и пространству (Лакса-Вендрофа)

Схема 2-го порядка точности по времени и пространству (Лакса-Вендрофа)

Устойчивость метода Лакса-Вендрофа

Диффузия в схеме Лакса-Вендрофа

Условие устойчивости в многомерных задачах гиперболического типа

Метод Лакса

Задачи гидродинамики / свободная поверхность / метод маркеров

Задачи гидродинамики / разрывы и ударные волны

Harten, Ami (1983), "High resolution

Консервативные схемы

Схема FDTD для задач электродинамики

Схема FDTD для задач электродинамики

Схема FDTD для задач электродинамики

Схема FDTD для задач электродинамики

Схема FDTD для задач электродинамики

Схема FDTD для задач электродинамики

Схема FDTD для задач электродинамики

Дисперсия сетки в многомерных задачах