Методы решения систем нелинейных уравнений

Введем обозначения

Тогда исходную систему запишем

относительно векторной функции F
векторного аргумента

Следовательно,

исходную задачу можно

Однако, переход от

к

вносит в задачу нахождения нулей свою
специфику.
Метод Ньютона решения

или в компактной форме:
Для задачи о неподвижной точке нелинейного
отображения
запишем

формальное равенство:

где

определяет метод простых

итераций и

Пусть известно

- е приближение

одного из

Тогда точный корень уравнения можно
представить:

где

поправка (погрешность корня). Имеем

Предполагая, что

непрерывно дифференцируема

членами

Под производной

следует понимать

матрицу Якоби системы функций

относительно переменных

т.е.

Тогда

Если

то

Следовательно, метод Ньютона для решения
исходной системы состоит в построении
итерационной

Пример. Найти методом Ньютона решение
системы уравнений

исходя из начального приближения

Полагая

имеем

Подставляя данные, получаем

Составим матрицу Якоби:

При этом

Т.к.

то найдем обратную ей матрицу

Получим первое приближение:

а

Аналогично находим дальнейшие приближения
В результате получим ( )

Решение нелинейных систем методами спуска
Общий недостаток всех рассмотренных ранее
методов решения систем

Пусть задана система

Образуем новую функцию

Т.к. эта функция не отрицательна, то всегда
найдется

Т.е., если удается получить точку

минимизирующую функцию

и если

при этом окажется, что

то

Последовательность точек

приближений к точке

минимума

функции

получают по формуле

где

вектор, определяющий

направление минимизации, а

скалярная

величина, характеризующая

Исходя из геометрического смысла задачи,
итерационный метод называется методом
спуска. При выборе направления

Направление наибольшего возрастания
функции в данной точке показывает её
градиент в этой точке.

Тогда суть градиентного метода

Достоинство градиентного метода решения
нелинейных систем – глобальная сходимость.
Главный

Пример. Найти максимум функции

Методом скорейшего спуска при ограничениях:

Функция

является выпуклой, поэтому

её

Пусть исходная точка

Подставляя

координаты

в выражение градиента,

получим

Используя формулу

получим

Используя скалярное произведение векторов

найдём

Отсюда а=0,7449 – величина длины шага.
Тогда координаты следующей точки и
градиента:

Выполняя в цикле представленные расчёты,
процесс итерации заканчиваем при
достижении заданной точности отклонения

В

Пример. Найти направление наискорейшего
возрастания функции

в точке

и

вычислить значение производной в этом
направлении.
Решение. Координаты