Основные понятия математической статистики

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Основные понятия математической статистики

Содержание

2. Основные понятия математической статистики. Математическая статистика – это раздел математики о методах регистрации, систематизации и анализа
3. Генеральная совокупность – это совокупность всех объектов, которые имеют типичную характеристику или признак. Это все возможные
4. Основные задачи, которые стоят перед математической статистикой: 1. Определение закона распределения случайной величины по имеющимся статистическим
5. Схема предварительной обработки экспериментальных данных. 1) Сбор экспериментальных данных. Чтобы определить закон распределения случайной величины, нужно
6. Пример: При измерении частоты пульса у 10 пациентов получены следующие результаты: 90, 110, 65, 80, 90,
7. Схема предварительной обработки экспериментальных данных. 2) Составление вариационного ряда. вариационный ряд (статистическое распределение) -- набор пар
8. Графическое представление дискретного вариационного ряда - это полигон частот: х
9. Если признак изменяется непрерывно, то составляется интервальный вариационный ряд: набор пар вид интервал – частота. Для
10. Пример. Анализ веса 60-ти новорожденных дал следующие результаты: min вес 1,5 кг, max вес 5 кг.
11. Графическая характеристика непрерывного вариационного ряда - Гистограмма:
12. Закономерности распределения генеральной совокупности оцениваются по выборочной совокупности. При увеличении объёма выборки (n→∞), относительные частоты стремятся
13. Характеристики генеральной совокупности Математическое ожидание M[X] дисперсия D[X] среднее квадратическое отклонение σ[X] Характеристики выборки (статистики) -
14. Генеральная совокупность (n→∞) Выборка (n- конечно) ν=n-1 число степеней свободы Sn-стандартное отклонение
15. Извлечём из генеральной совокупности N выборок, тогда их средние арифметические сами будут являться значениями случайной величины
16. показывает насколько выборочное среднее арифметическое близко к матожиданию М[X] генеральной совокупности. Чем больше объём выборки n,
17. Истинные значения М[X] и D[X] можно найти по генеральной совокупности, что практически невозможно. По выборке из
18. Если известна функция распределения, то этот интервал можно найти из соотношения: зная границы интервала, можно найти
19. Доверительным интервалом какого либо параметра, называют такой интервал, о котором можно сказать, что с вероятностью РД
20. Основная масса случайных величин в биологии и медицине распределена по нормальному закону распределения, следовательно, задав доверительную
21. Где стандартное отклонение для случайной величины Но для малых выборок (n В 1908 г английский математик
22. Нормированная случайная величина вычисляется по формуле: Плотность вероятности случайной величины: Где Вn -- параметр , зависит
23. Практическим следствием этого открытия явилась возможность определять границы доверительного интервала для М[X] с заданной доверительной вероятностью
25. Пример: При определении концентрации белка в растворе были получены следующие результаты (в мг/л):110, 112, 115, 113,
26. Для =0,95
27. 1.Провести серию измерений, не менее трех 2.Найти среднее арифметическое 3.Вычислить доверительный интервал (случайную ошибку). для заданной
28. б). если класс точности не указан ( например линейка или термометр) 5. Вычислить общую ошибку: Эту
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Основные понятия математической статистики.
Математическая статистика – это раздел математики о методах

регистрации, систематизации и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений.
Статистическая совокупность – это множество объектов, обладающих общими признаками, которые являются наиболее важными (типичными) для характеристики этих объектов.
Серия измерений какого либо признака совокупности – это совокупность значений случайной величины.
Объём совокупности N –это число членов совокупности.

Слайд 3

Генеральная совокупность – это совокупность всех объектов, которые имеют типичную характеристику

или признак. Это все возможные значения случайной величины.
Выборочная совокупность (выборка) – это отобранная тем или иным способом часть генеральной совокупности.
Из одной генеральной совокупности можно отбирать сколь угодно много выборок, главное, чтобы выборка была репрезентативной (представительной), а для этого элементы выборки должны отбираться случайным образом.
Варианта – это числовое значение изучаемого признака( отдельные значения случайной величины).

Слайд 4

Основные задачи, которые стоят перед математической статистикой:
1. Определение закона распределения случайной

величины по имеющимся статистическим данным ( по выборке – закон распределения для всей генеральной совокупности).
2. Определение неизвестных параметров распределения ( по выборке оценить параметры генеральной совокупности).
3. Задача проверки правдоподобия выдвигаемых статистических гипотез.

Слайд 5

Схема предварительной обработки экспериментальных данных.
1) Сбор экспериментальных данных.
Чтобы определить закон распределения

случайной величины, нужно провести серию измерений или подсчётов для интересующей нас случайной величины (признака).
В результате получаем статистический ряд – это совокупность числовых данных или выборка объёмом n:
Затем производят упорядочивание членов выборки – эта операция называется ранжирование.
Ранжирование -- это расположение всех имеющихся вариант по возрастанию. Получаем ранжированный статистический ряд.

Слайд 6

Пример:
При измерении частоты пульса у 10 пациентов получены следующие результаты: 90,

110, 65, 80, 90, 60, 70, 80, 70, 80
Ранжированный ряд имеет вид: 60, 65, 70, 70, 80, 80, 80, 90, 90, 110.
Колебания изучаемого признака называются варьирование. В нашем примере варьирование - это изменение частоты пульса.

Слайд 7

Схема предварительной обработки экспериментальных данных.
2) Составление вариационного ряда.
вариационный ряд (статистическое распределение)

-- набор пар значение – частота, с которой это значение встретилось в выборке.
Если случайная величина изменяется дискретно, то составляем дискретный вариационный ряд.

Слайд 8

Графическое представление дискретного вариационного ряда - это полигон частот:
х

Слайд 9

Если признак изменяется непрерывно, то составляется интервальный вариационный ряд: набор пар

вид интервал – частота.
Для построения интервального вариационного ряда выборку разбивают на интервалы. Есть несколько рекомендаций по вычислению числа интервалов:
k=log2n+1 (формула Стерджесса), k=√n и др , подробнее см.
http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Z_lab_8.htm
Длина интервала ΔX рассчитывается по формуле:

Слайд 10

Пример. Анализ веса 60-ти новорожденных дал следующие результаты: min вес 1,5

кг, max вес 5 кг. Число интервалов берём к=7, следовательно:
Определяем границы интервалов, подсчитываем число новорожденных, вес которых попадает в каждый интервал и составляем таблицу интервальный вариационный ряд

Слайд 11

Графическая характеристика непрерывного вариационного ряда - Гистограмма:

Слайд 12

Закономерности распределения генеральной совокупности оцениваются по выборочной совокупности.
При увеличении объёма

выборки (n→∞), относительные частоты стремятся к вероятностям соответствующих значений с.в., то есть к закону распределения.

Слайд 13

Характеристики генеральной совокупности
Математическое ожидание M[X]
дисперсия D[X]
среднее квадратическое отклонение σ[X]
Характеристики выборки (статистики)

- среднее арифметическое

- дисперсия

-стандартное отклонение (среднее квадратическое)

Статистические характеристики совокупности

Слайд 14

Генеральная совокупность (n→∞) Выборка (n- конечно)
ν=n-1 число степеней свободы
Sn-стандартное отклонение

Слайд 15

Извлечём из генеральной совокупности N выборок, тогда их средние арифметические сами

будут являться значениями случайной величины
Все эти значения имеют отклонения (рассеивание) от истинного значения М[X].
Это отклонение называется ошибка среднего арифметического, она в n раз меньше отклонения каждого xi от для данной выборки объёмом n

Ошибка среднего арифметического

Слайд 16

показывает насколько выборочное среднее арифметическое близко к матожиданию М[X] генеральной

совокупности.
Чем больше объём выборки n, тем ближе среднее арифметическое к М[X] генеральной совокупности ( т.е., ошибка меньше, чем больше n). Этот вывод получил название Закон больших чисел.

Слайд 17

Истинные значения М[X] и D[X] можно найти по генеральной совокупности, что

практически невозможно. По выборке из этой совокупности мы находим лишь их точечные оценки и , но насколько их значения близки истинным М[X] и D[X]? Например, как велика разность
Поэтому наряду с точечными оценками, применяют интервальные оценки параметров генеральной совокупности по выборке.
То есть мы хотим найти интервал ΔX, такой что:

или

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Слайд 18

Если известна функция распределения, то этот интервал можно найти из соотношения:

зная границы интервала, можно найти вероятность случайной величины принимать значения из данного интервала.
Но нам требуется решить обратную задачу: определить границы интервала, следовательно, для этого надо заранее задать вероятность, с которой мы этот интервал будем определять. Эту вероятность называют доверительной вероятностью РД, а определённый с её помощью интервал -- доверительным интервалом ΔXд.

Слайд 19

Доверительным интервалом какого либо параметра, называют такой интервал, о котором можно

сказать, что с вероятностью РД он содержит в себе этот параметр.
Доверительную вероятность обычно берут равной РД=0,95, но в особо ответственных случаях принимают РД=0,99 или даже РД=0,999.
С доверительной вероятностью связан уровень значимости α=1-РД.
Уровень значимости α --это вероятность того, что значение исследуемого параметра не попадёт в доверительный интервал.

Слайд 20

Основная масса случайных величин в биологии и медицине распределена по нормальному

закону распределения, следовательно, задав доверительную вероятность можно определить доверительный интервал:

Например, при РД=0,95

Слайд 21

Где стандартное отклонение для случайной величины
Но для малых выборок (n<30)

распределение может значительно отличаться от нормального.
В 1908 г английский математик и химик Уильям Госсет под псевдонимом Стьюдент предложил распределение случайной величины для малых выборок.

Слайд 22

Нормированная случайная величина вычисляется по формуле:
Плотность вероятности случайной величины:
Где Вn

-- параметр , зависит от n.
По мере увеличения объёма выборок n, распределение Стьюдента довольно быстро приближается к нормальному распределению Гаусса и при n˃30 практически не отличается от него.

Распределение Стьюдента

Слайд 23

Практическим следствием этого открытия явилась возможность определять границы доверительного интервала для

М[X] с заданной доверительной вероятностью РД:
коэффициент Стьюдента, находим в таблице для заданной РД и известного n.
Таким образом, определив доверительный интервал, можно записать:

Слайд 24

Слайд 25

Пример:
При определении концентрации белка в растворе были получены следующие результаты

(в мг/л):110, 112, 115, 113, 114. Найти среднее значение, стандартное отклонение и доверительный интервал для Рд=0.95.

Слайд 26

Для =0,95

Слайд 27

1.Провести серию измерений, не менее трех
2.Найти среднее арифметическое
3.Вычислить доверительный интервал

(случайную ошибку).
для заданной доверительной вероятности, например,

4.Найти систематическую ошибку.
а). если указан класс точности прибора:

Алгоритм обработки результатов прямых измерений

Слайд 28

б). если класс точности не указан ( например линейка или

термометр)

5. Вычислить общую ошибку:

Эту ошибку называют еще абсолютной ошибкой.

6. Записать окончательный результат:

7. Кроме абсолютной ошибки желательно также найти коэффициент вариации (или относительную ошибку, выраженную в процентах):

где Х шкалы – это предел шкалы (максимальное значение на шкале)

Основные понятия математической статистики

Содержание

Основные понятия математической статистики.Математическая статистика – это раздел математики о методах

Генеральная совокупность – это совокупность всех объектов, которые имеют типичную характеристику

Основные задачи, которые стоят перед математической статистикой:1. Определение закона распределения случайной

Схема предварительной обработки экспериментальных данных.1) Сбор экспериментальных данных.Чтобы определить закон распределения

Пример:При измерении частоты пульса у 10 пациентов получены следующие результаты: 90,

Схема предварительной обработки экспериментальных данных.2) Составление вариационного ряда.вариационный ряд (статистическое распределение)

Графическое представление дискретного вариационного ряда - это полигон частот:х