Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма

и

По условию функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, следовательно ее предел

Геометрический смысл теоремы Ферма

В точке наибольшего или наименьшего
значения, достигаемого внутри

Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
Непрерывна на отрезке

Геометрический смысл теоремы Ролля

Найдется хотя бы одна точка, в которой
касательная к

Если же хотя бы одно условие теоремы Ролля нарушено, то заключение

Отсутствует дифференцируемость на (a,b).

2

3

Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
Непрерывна на отрезке

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ,

Эту теорему часто записывают в виде:

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Если перемещать прямую АВ параллельно начальному положению, то найдется хотя бы

Следствие.

Если производная функции y=f(x) равна 0 на некотором промежутке Х,

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ТЕОРЕМА 1. (достаточное условие) возрастания функции)

Если производная дифференцируемой
функции положительна

ТЕОРЕМА 2. (достаточное условие убывания функции)

Если производная дифференцируемой
функции отрицательна внутри
некоторого промежутка

Геометрическая интерпретация

Если касательные к кривой на некотором
промежутке направлены под острыми
углами

Функция возрастает

Функция убывает

Пример.

Найти интервалы монотонности
функции

Решение:

Найдем производную этой функции:

Исследуем знак этой производной:

Следовательно, функция будет

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности

max

min

max

На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть,

Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке х0 , необходимо,

Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.

Т.об., если в

Найти критические точки и экстремумы
функций:

1

Примеры

Решение:

Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

min

2

Решение:

Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак

1

Найти производную функции

2

Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю

3

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.

4

Найти экстремум

Исследовать функцию на экстремум:

Пример

Решение:

Применим схему исследования функции на экстремум:

1

Находим производную функции:

2

Находим критические точки:

критические точки

3

Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:

min

В точке

4

Находим экстремум функции:

Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке х0 равна нулю,

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но

Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая

ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке

Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых

ТЕОРЕМА 1.

Функция выпукла вверх (вниз) на
промежутке Х тогда и только

ТЕОРЕМА 2. достаточное условие выпуклости функции

Если вторая производная дифференцируемой
функции положительна (отрицательна)

Точкой перегиба графика непрерывной функции
называется точка, разделяющая интервалы,
на которых функция выпукла

ТЕОРЕМА 3. необходимое условие перегиба

Вторая производная дифференцируемой функции в точке перегиба х0

ТЕОРЕМА 4. достаточное условие перегиба

Если вторая производная дифференцируемой функции в точке х0

схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1

Найти вторую производную функции.

3

Исследовать знак второй производной
слева и справа от найденных точек
и сделать вывод

Пример.

Найти интервалы выпуклости и
точки перегиба функции

Решение:

1

Находим вторую производную:

2

Находим точки, в которых вторая производная обращается в нуль:

3

Исследуем знак второй производной слева и справа от каждой точки:

Точки х1,

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Асимптотой графика функции y=f(x)
называется прямая, такая что
расстояние

вертикальная асимптота

горизонтальные асимптоты

наклонная асимптота

ТЕОРЕМА 1.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 (исключая,

Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

или

Очевидно, что прямая х=х0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция

ТЕОРЕМА 2.

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует

ТЕОРЕМА 3.

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуют

Пример.

Найти асимптоты графика функции

Решение:

Функция не имеет точек разрыва, следовательно вертикальных асимптот у нее нет.

1

2

Найдем

Следовательно, прямая

является наклонной асимптотой.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

1

Найти область определения функции.

2

Исследовать функцию

3

Найти вертикальные асимптоты.

4

Исследовать поведение функции на
бесконечности и найти горизонтальные
или наклонные

6

Найти интервалы выпуклости функции
и точки перегиба.

7

Найти точки пересечения графика с осями
координат

Пример.

Исследовать функцию и построить
ее график

Решение:

1

Находим область определения функции.
Функция определена при всех значениях х, кроме

Следовательно,

Функция является четной, следовательно ее график будет симметричен относительно оси ординат.

Функция

При

слева

При

справа

Следовательно, прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

Аналогично можно проанализировать х=-1, но

Следовательно, y=-1 - горизонтальная асимптота.

Т.к.

то наклонных асимптот нет.

5

Найдем интервалы монотонности и

Исследуем знак производной при переходе через эту точку:

минимум

Интервалы монотонности функции:

Функция убывает на:

Функция возрастает на:

6

Найдем интервалы выпуклости и точки

Точек, в которых вторая производная обращается в ноль, нет. Поэтому точек

Интервалы выпуклости функции:

Функция выпукла вниз на:

Функция выпукла вверх на:

7

Найдем точки пересечения