Содержание
- 2. Учебные вопросы. 1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. 2. Условные вероятности. Зависимые и независимые события.
- 3. В теория вероятностей случайные события рассматриваются с точки зрения теории множеств, что позволяет определить отношения над
- 4. Доказательство. Введем обозначения: n –общее число возможных элементарных исходов испытания; m1-число исходов, благоприятствующих событию A; m2
- 5. Следовательно, P(A+B)=(m1+m2)/n = m1/n +m2/n. Приняв во внимание, что m1/n = P(A) и m2/n=P(B), окончательно P(A+B)=P(A)+P(B).
- 6. Теорема сложения вероятностей совместных событий Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает
- 7. Вероятность суммы трех совместных событий равна: P(A+B+C)= P(A) +P(B) +P(C) – P(A∙B)- P(B∙C) –- -P(A∙C) +P(A∙B∙C).
- 8. Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: (3) Если обозначить P(A)=p, то формула (3) примет вид
- 9. Решение. События «день дождливый» и « день ясный»- противоположные, поэтому искомая вероятность q=1-p=1-0,7=0,3 Замечание. При решении
- 10. Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной
- 11. Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45,
- 12. Пример. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый
- 13. Пример. В урне 30 шаров: 10 красных ,5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного
- 14. События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема
- 15. Зависимые и независимые события. Событие A называют независимым от события B, если вероятность события A не
- 16. Условная вероятность Определение. Вероятность события А , вычисленная при условии, что произошло событие В , называется
- 17. Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на
- 18. Так как AB=BA ,то а сравнивая (1) и (2), получаем равенство P(A)PA(B) = P(B)PB(A).
- 19. Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех
- 20. где вероятность события An , вычисленная в предположении, что события A1, A2,…, An-1 наступили. В частности,
- 21. Теорема умножения для независимых событий Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: P(AB)= P(A)P(B).
- 22. Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А)
- 23. Теорема. ( о вероятности наступления хотя бы одного из n независимых событий). Теорема. Если события A1,A2,…,An
- 24. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий,
- 25. q1=1-p1=1-0,8=0,2; q2=1-p2=1-0,7=0,3; q3=1-p3=1-0,9=0,1. Искомая вероятность P(A)=1-q1q2q3= 1-0,2∙ 0,3∙ 0,1=0,994.
- 26. Задачи В урне 5 красных и 8 белых шаров. Из урны последовательно без возвращения вынимают два
- 27. Задачи Студент знает ответы на 20 вопросов из 25. Экзаменатор последовательно задает студенту три вопроса. Найти
- 28. Задачи Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен,
- 29. Третий учебный вопрос Формула полной вероятности. Формула Байеса. Следствием основных теорем вероятностей – теорем сложения и
- 30. Также даны вероятности этих событий и условные вероятности события A. Для нахождения вероятности события A можно
- 31. равняется сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:
- 32. где P(B1)- вероятность события B1 ; P(B2) - вероятность события B2 ; P(Bi) - вероятность события
- 33. Пример. В магазин поступает изделия с двух фабрик, причем 40% из них изготовлены фабрикой №1, а
- 34. Так как событие A может состояться лишь при условии выполнения одной из гипотез B1 или B2,
- 35. По условию задачи Подставляя найденные вероятности в формулу (**), получим: P(A)=0,4∙0,9+0,6∙0,75=0,81
- 36. Вывод формулы Байеса . Примеры. Задача. Имеется полная группа несовместных гипотез B1,B2,…,Bn , вероятность которых P(Bi)
- 37. Тогда вероятность появления события A равна: Найдем условные вероятности В соответствии с теоремой умножения условная вероятность
- 38. Тогда После преобразований получим
- 39. Эти формулы носят название формул Байеса, благодаря которым можно оценить вероятности гипотез после того, как становится
- 40. Условная вероятность любой гипотезы Bi (i=1,2,3,…,n) рассчитывается следующим образом:
- 41. Какова вероятность, что наугад взятая деталь, изготовленная в цехе, окажется отличного качества? Наугад взятая деталь оказалась
- 42. В2 - наугад взятая деталь изготовлена на станке 2-го типа; В3 - наугад взятая деталь изготовлена
- 43. Вероятности даны в условии задачи: 1. По формуле полной вероятности
- 45. Скачать презентацию