Отношения следования и равносильности

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Отношения следования и равносильности

Содержание

2. Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат А(х)⇒В(х), заданный на том же
3. Примеры: 1) А(х): «Число х кратно 3» и В(х): «Число х –двузначное», х ∈ N А(х)⇒В(х):
4. 2) А(х): «Число х - однозначное», В(х): «Число х – двузначное», х ∈ N А(х)⇒В(х): «Если
5. 2) А(х): «Число х кратно 4», В(х): «Число х кратно 2», х ∈ N А(х)⇒В(х): «Если
6. Отношение следования А(х), В(х), х ∈ Х А(х) ⇒ В(х) истинна при всех х ∈ Х
7. Пример: А(х)⇒В(х): «Если число х кратно 4, то оно кратно 2». «Для того, чтобы число х
8. Эквиваленцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат А(х)⇔В(х), заданный на том же
9. Если предикаты А(х) и В(х) равносильны на множестве Х, то эквиваленция предикатов А(х) ⇔ В(х) истинна
10. Пример: А(х) «Число х делится на 10», В(х): «Запись числа х заканчивается цифрой 0» А(х)⇔В(х): «Число
11. Пример: «Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его запись оканчивалась нулем»
12. Замечание. Из равносильности предикатов А(х) и В(х) на некотором множестве Х не следует, что предикаты, выраженные
13. на множестве параллелограммов: А(х)⇔В(х): «Для того чтобы стороны параллелограмма были равны, необходимо и достаточно, чтобы его
14. на множестве четырехугольников: А(х)⇔В(х): «Для того чтобы стороны четырехугольника были равны, необходимо и достаточно, чтобы его
15. Теоремы
16. Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). Теорема - от греч. τεορεμα -
17. С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание А(х) ⇒ В(х), где А(х) и В(х) –
18. Пример: «В прямоугольнике диагонали равны». Если четырехугольник является прямоугольником, то диагонали в нем равны Из того,
19. Кроме условия и заключения теорема содержит разъяснительную часть (словесно она обычно не формулируется, но всегда подразумевается,
20. В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами. Пример: правило деления суммы на число:
21. А(х) ⇒ В(х) – данная теорема В(х) ⇒ А(х) - теорема обратная данной - теорема противоположная
22. А(х) ⇒ В(х): «Если сумма цифр числа кратна 9, то и само число кратно 9» В(х)
24. Замечание. Если условие или заключение данной теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то чтобы получить теорему
25. ПРИМЕР: А(х) ⇒ В(х): «ЕСЛИ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 3 И НА 5, ТО ОНО ДЕЛИТСЯ НА
26. Если для данной теоремы А(х) ⇒ В(х) истинна обратная теорема В(х) ⇒ А(х), то их можно
27. Пример: А(х) ⇒ В(х): «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны» В(х) ⇒ А(х): «Если в
28. А(х) ⇔ В(х): «Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы в нем углы
29. ЕСЛИ ТЕОРЕМА ИМЕЕТ ВИД РАВНОСИЛЬНОСТИ А(Х) ⇔ В(Х), ТО ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО ОНА СОСТОИТ ИЗ ДВУХ
30. Упражнения: Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем: а) Диагонали прямоугольника равны. б) Равенство
32. Скачать презентацию

Слайд 2

Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат

А(х)⇒В(х), заданный на том же множестве, который ложен лишь при тех значениях х ∈ Х, при которых А(х) истинен, а В(х) ложен.

Слайд 3

Примеры: 1) А(х): «Число х кратно 3» и В(х): «Число х

–двузначное», х ∈ N

А(х)⇒В(х): «Если число х кратно 3, то оно двузначное».

ТА – множество чисел, кратных 3,

ТВ – множество двузначных чисел.

ТА⇒В – множество чисел, не кратных 3 или двузначных

ТА⇒В =

ТА'

∪

ТВ

Слайд 4

2) А(х): «Число х - однозначное», В(х): «Число х – двузначное»,

х ∈ N

А(х)⇒В(х): «Если число х однозначное, то оно двузначное».

ТА – множество однозначных чисел

ТВ – множество двузначных чисел.

ТА⇒В – множество неоднозначных чисел

Слайд 5

2) А(х): «Число х кратно 4», В(х): «Число х кратно 2»,

х ∈ N

А(х)⇒В(х): «Если число х кратно 4, то оно кратно 2».

ТА – множество чисел, кратных 4

ТВ – множество чисел, кратных 2

ТА⇒В = N

Слайд 6

Отношение следования
А(х), В(х), х ∈ Х
А(х) ⇒ В(х) истинна при всех

х ∈ Х

Предикат В(х) логически следует из предиката А(х), то есть А(х) ⇒ В(х), тогда и только тогда, когда ТА ⊂ ТВ

Слайд 7

Пример: А(х)⇒В(х): «Если число х кратно 4, то оно кратно 2».

«Для того, чтобы число х было кратно 4, необходимо, чтобы оно было кратно 2».

«Для того, чтобы число х было кратно 2 достаточно, чтобы оно было кратно 4».

Слайд 8

Эквиваленцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат

А(х)⇔В(х), заданный на том же множестве, который истинен лишь при тех значениях х ∈ Х, при которых оба предиката истинны или оба ложны.

Слайд 9

Если предикаты А(х) и В(х) равносильны на множестве Х, то эквиваленция

предикатов А(х) ⇔ В(х) истинна при всех х ∈Х.

Отношение равносильности

Предикаты А(х) и В(х) равносильны, то есть А(х) ⇔ В(х), тогда и только тогда, когда ТА = ТВ

Пусть даны предикаты А(х) и В(х), х ∈Х.

Слайд 10

Пример: А(х) «Число х делится на 10»,
В(х): «Запись числа х заканчивается

цифрой 0»

А(х)⇔В(х): «Число х делится на 10 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается 0»

ТА – множество чисел, кратных 10,
ТВ – множество чисел, запись которых оканчивается цифрой 0.

ТА = ТВ, значит А(х) ⇔ В(х),
то есть эквиваленция А(х) ⇔ В(х) истинна при всех х ∈ N

Слайд 11

Пример: «Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно,

чтобы его запись оканчивалась нулем»

Слайд 12

Замечание. Из равносильности предикатов А(х) и В(х) на некотором множестве Х

не следует, что предикаты, выраженные теми же словами, окажутся равносильными на другом множестве Y.
Пример:
А(х): «Все стороны четырехугольника равны»,
В(х): «Диагонали четырехугольника перпендикулярны».

Слайд 13

на множестве параллелограммов:
А(х)⇔В(х): «Для того чтобы стороны параллелограмма были равны, необходимо

и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны» - истина

Слайд 14

на множестве четырехугольников:
А(х)⇔В(х): «Для того чтобы стороны четырехугольника были равны, необходимо

и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны» - ложь

Слайд 15

Теоремы

Слайд 16

Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).
Теорема

- от греч. τεορεμα - представление, зрелище

Слайд 17

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание А(х) ⇒ В(х),

где А(х) и В(х) – предикаты, причем В(х) логически следует из А(х), то есть В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинен.

А(х) – условие теоремы, В(х) – заключение теоремы.

Теорема может быть сформулирована с помощью слов «если …, то…», «следует», «необходимо», «достаточно», а также без использования этих слов.

Слайд 18

Пример: «В прямоугольнике диагонали равны».
Если четырехугольник является прямоугольником, то диагонали

в нем равны

Из того, что четырехугольник является прямоугольником следует, что его диагонали равны

Для того чтобы в четырехугольнике диагонали были равны, достаточно, чтобы он был прямоугольником

Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы его диагонали были равны

Слайд 19

Кроме условия и заключения теорема содержит разъяснительную часть (словесно она обычно

не формулируется, но всегда подразумевается, и при работе с теоремой ее необходимо выделять).
В рассмотренном выше примере разъяснительная часть следующая: работаем на множестве всех прямоугольников.

Слайд 20

В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами.
Пример: правило

деления суммы на число:
«для того, чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое из слагаемых и полученные результаты сложить»
(а + b) : с = а : с + b : с

Условие: а, b и с – целые неотрицательные числа (с ≠ 0), а  с и b  с
Заключение: (а + b) : с = а : с + b : с

Слайд 21

А(х) ⇒ В(х) – данная теорема
В(х) ⇒ А(х)
- теорема обратная данной
-

теорема противоположная данной

теорема обратная противоположной или
противоположная обратной

Слайд 22

А(х) ⇒ В(х): «Если сумма цифр числа кратна 9, то и

само число кратно 9»

В(х) ⇒ А(х):

«Если число кратно 9, то и сумма цифр числа кратна 9»

: «Если сумма цифр числа не кратна 9, то и число не кратно 9»

: «Если число не кратно 9, то и сумма цифр числа не кратна 9»

Слайд 23

Слайд 24

Замечание. Если условие или заключение данной теоремы представляет собой конъюнкцию или

дизъюнкцию, то чтобы получить теорему противоположную данной и обратную противоположной (противоположную обратной), нужно учитывать правила построения отрицания конъюнкции или дизъюнкции.

Слайд 25

ПРИМЕР:
А(х) ⇒ В(х): «ЕСЛИ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 3 И НА

5, ТО ОНО ДЕЛИТСЯ НА 15»

: «Если число не делится на 3 или не делится на 5, то оно не делится на 15»

: «Если число не делится на 15, то оно не делится на 3 или не делится на 5»

Слайд 26

Если для данной теоремы А(х) ⇒ В(х) истинна обратная теорема В(х)

⇒ А(х), то их можно объединить в одну А(х) ⇔ В(х), и тогда в формулировке будут использоваться слова «необходимо и достаточно»,
«тогда и только тогда, когда»

Слайд 27

Пример:
А(х) ⇒ В(х): «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны»

В(х) ⇒ А(х):

«Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный»

Слайд 28

А(х) ⇔ В(х): «Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и

достаточно, чтобы в нем углы при основании были равны»
или

«Треугольник будет равнобедренным тогда и только тогда, когда в нем углы при основании будут равны»

Слайд 29

ЕСЛИ ТЕОРЕМА ИМЕЕТ ВИД РАВНОСИЛЬНОСТИ А(Х) ⇔ В(Х), ТО ЭТО ЗНАЧИТ,

ЧТО ОНА СОСТОИТ ИЗ ДВУХ ВЗАИМНО ОБРАТНЫХ ТЕОРЕМ:
А(Х) ⇒ В(Х) И В(Х) ⇒ А(Х),
И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОДИТСЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ДВУХ УКАЗАННЫХ ТЕОРЕМ

Слайд 30

Упражнения:
Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем:
а) Диагонали прямоугольника

равны.
б) Равенство треугольников есть достаточное условие их равновеликости.
2. Для данной теоремы сформулируйте обратную, противоположную и обратную противоположной теоремы : «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».
3. Покажите, что следующая теорема является объединением двух теорем: «На 5 делятся те и только те числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5»