Перестановки. Построение перестановки по таблице инверсий. (Лекция 6)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Перестановки. Построение перестановки по таблице инверсий. (Лекция 6)

Содержание

2. Перестановки Перестановкой порядка N называется расположение N различных объектов в ряд в некотором порядке. Например, для
3. Инверсии Пусть даны базовое множество из N элементов 1,2, 3,..., N и его перестановка Пара называется
4. Таблицей инверсий перестановки a1,a2, ...,aN называется последовательность чисел b1, b2 …, bN , где bj есть
5. Построение перестановки по таблице инверсий 1 способ: проход по таблице инверсий справа налево Создается заготовка перестановки
6. Алгоритм П1: построение перестановки по таблице инверсий справа налево Вход: N > 0 - количество элементов
7. Построение перестановки по таблице инверсий 2 способ: проход по таблице инверсий слева направо Создается заготовка пустой
8. Алгоритм П2: построение перестановки по таблице инверсий слева направо Вход: N > 0 - количество элементов
9. Инверсионный метод поиска всех перестановок Таблица инверсий однозначно определяет перестановку и каждая перестановка имеет только одну
10. Генерация таблиц инверсии 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 …
11. Алгоритм И1: нахождение следующей таблицы инверсий Пусть B = b1, b2, ..., bN – таблица инверсий,
12. Алгоритм Дейкстры: поиск следующей по алфавиту перестановки Пусть даны две перестановки b = b1, b2 …,
13. Идея алгоритма Дейкстры: определить каким-либо образом функцию, которая по заданной перестановке выдает непосредственно следующую за ней
14. Алгоритм Дейкстры: генерация следующей по алфавиту перестановки Вход: N > 0 — количество элементов; a1, a2,
15. Пример построения следующей по алфавиту перестановки Для перестановки 1 4 6 2 9 5 8 7
16. Рекурсивный метод поиска всех перестановок Метод рекурсивного перебора перестановок основан на идее сведения исходной задачи к
17. Пример рекурсивного перебора для M= {1,2,3,4} Реr(M) Реrmut (1, M|{1}) Реrmut (2, M|{2}) Реrmut (3, M|{3})
18. На языке Си этот процесс можно описать следующим образом: typedef char string[256]; void permut(string start, string
19. Генерация всех перестановок методом Кнута Идея: если построены все перестановки длины N, то для каждой такой
20. Генерация перестановок методом Кнута – 1 способ Пусть дана перестановка длины N. Дописать в конец перестановки
21. Генерация перестановок методом Кнута – 2 способ Пусть дана перестановка длины N: a1 a2 … aN
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Перестановки
Перестановкой порядка N называется расположение N различных объектов в ряд в

некотором порядке.
Например, для трех объектов — а, b и с — существует шесть
перестановок:
аbс, acb, bac, bса. cab, cba.
Для множества из N элементов можно построить N! различных перестановок: первую позицию можно занять N способами, вторую — (N – 1) способом, так как один элемент уже занят, и т. д. На последнее место можно поставить только один оставшийся элемент.
Следовательно, общее количество вариантов расстановки равно
N ⋅ (N −1) ⋅ (N − 2) ⋅ ... ⋅ 1 = N!
Далее будем рассматривать перестановки элементов множества
{1, 2, 3, … , N}

Слайд 3

Инверсии
Пусть даны базовое множество из N элементов 1,2, 3,..., N

и его перестановка
Пара называется инверсией (инверсионной парой) перестановки ,
если при i < j.
Например, перестановка 4, 1, 3, 2 имеет четыре инверсии:
(4,1), (3,2), (4,3) и (4,2).
Единственной перестановкой, не содержащей инверсий, является упорядоченная перестановка 1, 2, 3, ... , N.
Таким образом, каждая инверсия — это пара элементов
перестановки, нарушающих ее упорядоченность.

Слайд 4

Таблицей инверсий перестановки a1,a2, ...,aN называется последовательность чисел b1, b2 …,

bN , где bj есть число элементов перестановки, больших j и расположенных левее j
(т. е. количество инверсий вида (x, j), при x > j).
Например,
для перестановки 5 9 1 8 2 6 4 7 3
таблица инверсий: 2 3 6 4 0 2 2 1 0.
Свойство элементов таблицы инверсий:
bN = 0,
…
0 ≤ bi ≤ N – i ,
…
0 ≤ b1 ≤ N – 1.
Утверждение
Таблица инверсий единственным образом определяет соответствующую ей перестановку.

Слайд 5

Построение перестановки по таблице инверсий
1 способ: проход по таблице инверсий справа

налево
Создается заготовка перестановки из одного максимального числа. На каждом шаге в нее вставляется следующий по величине элемент с учетом того, сколько элементов, больших него, должно стоять перед ним.
Пример:
Таблица инверсий: 2 3 6 4 0 2 2 1 0
9
9 8
9 8 7
9 8 6 7
5 9 8 6 7
5 9 8 6 4 7
5 9 8 6 4 7 3
5 9 8 2 6 4 7 3
5 9 1 8 2 6 4 7 3

Слайд 6

Алгоритм П1: построение перестановки по таблице инверсий справа налево
Вход:
N >

0 - количество элементов перестановки,
b1, b2 …, bN – таблица инверсий,
0 ≤ bj ≤ N − j.
Р := пустая последовательность;
цикл по j от N вниз до 1
вставить число j в Р после bj элементов;
конец цикла;
Выход:
Р − перестановка, соответствующая данной таблице инверсий

Слайд 7

Построение перестановки по таблице инверсий
2 способ: проход по таблице инверсий слева

направо
Создается заготовка пустой перестановки длины N.
На каждом шаге для каждого элемента перестановки, начиная с 1, отсчитывается в ней столько пустых ячеек, какое число записано в соответствующей позиции в таблице инверсий. В следующее за ними пустое место вставляется этот элемент.
Пример:
Таблица инверсий: 2 3 6 4 0 2 2 1 0
Перестановка:

Слайд 8

Алгоритм П2: построение перестановки по таблице инверсий слева направо
Вход:
N >

0 - количество элементов перестановки,
b1, b2 …, bN – таблица инверсий,
0 ≤ bj ≤ N − j.
Р := последовательность из N пустых элементов;
цикл по i от 1 до N с шагом 1 выполнять
пропустить bi пустых мест в P;
поместить i на следующее пустое место;
конец цикла
Выход:
Р − перестановка, соответствующая данной таблице инверсий

Слайд 9

Инверсионный метод поиска всех перестановок
Таблица инверсий однозначно определяет перестановку и

каждая перестановка имеет только одну таблицу инверсий.
Следовательно, если мы сумеем перебрать все таблицы инверсий, то с помощью алгоритмов П1 или П2 сможем по ним восстановить все перестановки.
Рассмотрим таблицу инверсий как N-значное число в такой необычной «системе счисления»: количество цифр, которое можно использовать в i-м разряде (с конца, начиная с 0) равно i.
Возьмем «минимальную» таблицу и будем последовательно прибавлять к ней, как к числу, единицу, пользуясь, например, алгоритмом сложения с переносом для многоразрядных чисел, модифицированным для нашей «системы счисления».

Слайд 10

Генерация таблиц инверсии
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
…
1
1
1
…
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
…
1
1
1
1
1
1
1
1
1
…
…
4
3
2
Шаг 0
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Шаг 6
Шаг 7
Шаг

8
Шаг 9
Шаг 10
…
Шаг 119

Слайд 11

Алгоритм И1: нахождение следующей таблицы инверсий
Пусть B = b1, b2, ...,

bN – таблица инверсий, построенная на предыдущем шаге.
Тогда следующая таблица инверсий получается из нее прибавлением к ней единицы:
i := N;
flag := истина;
пока flag выполнять
x := bi + 1;
если x > N – i
то
начало
bi := 0;
i := i –1;
конец
иначе
начало
bi := x;
flag := ложь;
конец
конец пока

Слайд 12

Алгоритм Дейкстры: поиск следующей по алфавиту перестановки
Пусть даны две перестановки
b

= b1, b2 …, bN и
c = c1, c2 …, cN
набора 1, 2, ..., N.
Говорят, что перестановка b предшествует перестановке с в алфавитном (лексикографическом) порядке, если для минимального значения k, такого что bk ≠ ck, справедливо bk < сk.
Например, перестановка 1 2 3 4 5 предшествует перестановке 1 2 4 5 3 (здесь k = 3).
Первой перестановкой в алфавитном порядке является
перестановка 1,2,3, ..., N,
а последней — N,N-1,N-2,...,1

Слайд 13

Идея алгоритма Дейкстры:
определить каким-либо образом функцию, которая по заданной перестановке выдает

непосредственно следующую за ней в алфавитном порядке, и применять ее последовательно к собственным результатам начиная с самой первой перестановки, пока не будет получена последняя.
Например, для перестановки
1 4 6 2 9 5 8 7 3
следующей по алфавиту является перестановка
1 4 6 2 9 7 3 5 8.

Слайд 14

Алгоритм Дейкстры: генерация следующей по алфавиту перестановки
Вход: N > 0 —

количество элементов;
a1, a2, …, aN-1, aN – предыдущая перестановка.
Шаг 1. Просматривая перестановку, начиная с последнего элемента, найдем такой номер i, что ai+1 > ... > aN и ai < ai+1.
Если такого i нет, то последовательность упорядочена по убыванию и следующей перестановки нет: конец алгоритма.
Шаг 2. Найти в «хвосте» ai+1, …, aN элемент aj,, такой что i+1 ≤ j ≤ N, aj есть наименьшее значение, удовлетворяющее условию aj > ai. После этого поменять местами ai и aj .
Шаг 3. Упорядочить «хвост» ai+1, …, aN по возрастанию. Для этого достаточно его инвертировать (обернуть в обратном порядке).
Выход: следующая по алфавиту перестановка за данной.

Слайд 15

Пример построения следующей по алфавиту перестановки
Для перестановки
1 4 6 2 9

5 8 7 3
Найти следующую по алфавиту.

Шаг 1:

Шаг 2:

Шаг 3:

Поменять местами

Обернуть хвост

Слайд 16

Рекурсивный метод поиска всех перестановок
Метод рекурсивного перебора перестановок основан на

идее сведения исходной задачи к аналогичной задаче на меньшем наборе входных данных.
Система рекуррентных соотношений, определяющих множество Реr(М) всех перестановок базового множества М произвольной природы:
Реr(0) = {""},
Реr(М) = ∪Permut(i, M\{i}),
Permut(i, S) = {"i" + s ⎪ s ∈ Per(S) }.
Первое равенство задает условие обрыва рекурсивного спуска: пустое множество элементов порождает пустую перестановку.
Два последних равенства определяют правила рекурсивного перехода.

Слайд 17

Пример рекурсивного перебора для M= {1,2,3,4}
Реr(M)
Реrmut (1, M|{1})
Реrmut (2, M|{2})
Реrmut (3,

M|{3})

Реrmut (4, M|{4})

Реrmut (12, {3,4})

Реrmut (13, {2,4})

Реrmut (14, {2,3})

Реrmut (123, {4})

Реrmut (124, {3})

Реrmut (1234, {})

Реrmut (1243, {})

Слайд 18

На языке Си этот процесс можно описать следующим образом:
typedef char string[256];

void permut(string start, string rest)
{
int lenr = strlen(rest);
int lens = strlen(start);
int i=0; string sl=“"; string s2=“";
if (lenr == 0) Printf(“%s\n”, start);
else
{
for (i = 0; i < lenr; i++)
{
/* Добавляем i-ый символ к строке start */
strcpy(sl,start);
strncpy(sl+lens,rest+i,1);
strncpy(sl+lens+1,"\0",1);
/* Удаляем i-ый символ из строки rest */
strncpy(s2,rest,i);
strncpy(s2+i,rest+i+l,lenr-i-1);
strncpy(s2+lenr-l,"\0", 1);
/* Рекурсивный переход */
permut( s1, s2 );
}
}
}

Слайд 19

Генерация всех перестановок методом Кнута
Идея:
если построены все перестановки длины N,

то для каждой такой перестановки можно построить N+1 перестановку длины N+1.
Пример:
Для перестановки 3241 можно построить 5 различных перестановок длины 5:
53241
35241
32541
32451
32415

Слайд 20

Генерация перестановок методом Кнута – 1 способ
Пусть дана перестановка длины N.
Дописать

в конец перестановки числа (2i+1)/2 (0 ≤ i ≤ N).
Перенумеровать элементы полученных перестановок в порядке их возрастания.
Пример: дана перестановка 3241.
3 2 4 1 0.5 → 4 3 5 2 1
3 2 4 1 1.5 → 4 3 5 1 2
3 2 4 1 2.5 → 4 2 5 1 3
3 2 4 1 3.5 → 3 2 5 1 4
3 2 4 1 4.5 → 3 2 4 1 5

Слайд 21

Генерация перестановок методом Кнута – 2 способ
Пусть дана перестановка длины N:

a1 a2 … aN .
Дописать в конец перестановки числа k
(1 ≤ k ≤ N +1).
Для всех ai ≥ k заменить их на ai + 1.
Пример: дана перестановка 3241.
3 2 4 1 1 → 4 3 5 2 1
3 2 4 1 2 → 4 3 5 1 2
3 2 4 1 3 → 4 2 5 1 3
3 2 4 1 4 → 3 2 5 1 4
3 2 4 1 5 → 3 2 4 1 5

Перестановки. Построение перестановки по таблице инверсий. (Лекция 6)

Содержание

ПерестановкиПерестановкой порядка N называется расположение N различных объектов в ряд в

Инверсии Пусть даны базовое множество из N элементов 1,2, 3,..., N

Таблицей инверсий перестановки a1,a2, ...,aN называется последовательность чисел b1, b2 …,

Построение перестановки по таблице инверсий1 способ: проход по таблице инверсий справа

Алгоритм П1: построение перестановки по таблице инверсий справа налевоВход: N >

Построение перестановки по таблице инверсий2 способ: проход по таблице инверсий слева

Алгоритм П2: построение перестановки по таблице инверсий слева направоВход: N >

Инверсионный метод поиска всех перестановок Таблица инверсий однозначно определяет перестановку и

Генерация таблиц инверсии000000000111…111…2220000000000000000000000000…111111111……432Шаг 0Шаг 1Шаг 2Шаг 3Шаг 4Шаг 5Шаг 6Шаг 7Шаг

Алгоритм И1: нахождение следующей таблицы инверсийПусть B = b1, b2, ...,

Алгоритм Дейкстры: поиск следующей по алфавиту перестановки Пусть даны две перестановки b

Идея алгоритма Дейкстры:определить каким-либо образом функцию, которая по заданной перестановке выдает

Алгоритм Дейкстры: генерация следующей по алфавиту перестановкиВход: N > 0 —

Пример построения следующей по алфавиту перестановкиДля перестановки 1 4 6 2 9

Рекурсивный метод поиска всех перестановок Метод рекурсивного перебора перестановок основан на

Пример рекурсивного перебора для M= {1,2,3,4}Реr(M)Реrmut (1, M|{1})Реrmut (2, M|{2})Реrmut (3,

На языке Си этот процесс можно описать следующим образом:typedef char string[256];

Генерация всех перестановок методом КнутаИдея: если построены все перестановки длины N,

Генерация перестановок методом Кнута – 1 способПусть дана перестановка длины N.Дописать

Генерация перестановок методом Кнута – 2 способПусть дана перестановка длины N:

Похожие презентации